Question

【题目】（1）如图1，已知正方形ABCD，E是AD上一点，F是BC上一点，G是AB上一点，H是CD上一点，线段EF、GH交于点O，∠EOH=∠C，求证：EF=GH；

（2）如图2，若将“正方形ABCD”改为“菱形ABCD”，其他条件不变，探索线段EF与线段GH的关系并加以证明；

（3）如图3，若将“正方形ABCD”改为“矩形ABCD”，且AD=mAB，其他条件不变，探索线段EF与线段GH的关系并加以证明；

附加题：根据前面的探究，你能否将本题推广到一般的平行四边形情况？若能，写出推广命题，画出图形，并证明，若不能，说明理由．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）EF=GH；证明见解析；（3）；证明见解析；

附加题：能；证明见解析；

【解析】

（1）过点F作FM⊥AD于M，过点G作GN⊥CD于N，易证△GNH≌△FME，根据全等三角形的性质即可证得结论；（2）EF=GH，过点F作FM⊥AD于M，过点G作GN⊥CD于N，设EF、GN交于R、GN、MF交于Q，证明△GNH≌△FME，，根据全等三角形的性质即可证得结论；（3）过点F作FM⊥AD于M，过点G作GN⊥CD于N，设EF、GN交于R、GN、MF交于Q，证明△GNH∽△FME，根据相似三角形的性质即可证得结论；附加题：如图，过点F作FM⊥AD于M，过点G作GN⊥CD于N，设EF、GN交于R、GN、MF交于Q，证明△GNH∽△FME，根据相似三角形的性质及（3）的结论即可求解.

（1）如图1，过点F作FM⊥AD于M，过点G作GN⊥CD于N，

则FM=GN=AD=BC，且GN⊥FM，设它们的垂足为Q，设EF、GN交于R

∵∠GOF=∠A=90°，

∴∠OGR=90°﹣∠GRO=90°﹣∠QRF=∠OFM．

∵∠GNH=∠FME=90°，FM=GN，

∴△GNH≌△FME．

∴EF=GH．

（2）如图2，过点F作FM⊥AD于M，过点G作GN⊥CD于N，设EF、GN交于R、GN、MF交于Q，

在四边形MQND中，∠QMD=∠QND=90°

∴∠ADC+∠MQN=180°．

∴∠MQN=∠A=∠GOF．

∵∠ORG=∠QRF，

∴∠HGN=∠EFM．

∵∠A=∠C，AB=BC，

∴FM=ABsinA=BCsinC=GN．

∵∠FEM=∠GNH=90°，

∴△GNH≌△FME．

∴EF=GH．

（3）如图3，过点F作FM⊥AD于M，过点G作GN⊥CD于N，设EF、GN交于R、GN、MF交于Q，

∵∠GOF=∠A=90°，

∴∠OGR=90°﹣∠GRO=90°﹣∠QRF=∠OFM．

∵∠GNH=∠FME=90°，

∴△GNH∽△FME．

∴．

∵GN=AD，FM=AB,AD=mAB，

∴.

附加题：

已知平行四边形ABCD，E是AD上一点，F是BC上一点，G是AB上一点，H是CD上一点，线段EF、GH交于点O，∠EOH=∠C，AD=mAB，则GH=mEF．

证明：如图，过点F作FM⊥AD于M，过点G作GN⊥CD于N，设EF、GN交于R、GN、MF交于Q，

在四边形MQND中，∠QMD=∠QND=90°，

∴∠MDN+∠MQN=180°．

∴∠MQN=∠A=∠GOF．

∵∠ORG=∠QRF，

∴∠HGN=∠EFM．

∵∠FME=∠GNH=90°，

∴△GNH∽△FME．

∴=m．

即GH=mEF．