Question

17．如图，△ABC内接于⊙O，AB是直径，⊙O的切线PC交BA的延长线于点P，OF∥BC交AC于点E，交PC于点F，连接AF．
（1）判断AF与⊙O的位置关系并说明理由；
（2）若⊙O的半径为4，AF=2，求PF的长．

Answer 1

分析 （1）直接利用切线的性质结合全等三角形的判定与性质得出答案；
（2）利用切线的性质结合三角形面积求法以及勾股定理得出答案．

解答 解：（1）AF为圆O的切线，
理由为：
连接OC，
∵PC为圆O切线，
∴CP⊥OC，
∴∠OCP=90°，
∵OF∥BC，
∴∠AOF=∠B，∠COF=∠OCB，
∵OC=OB，
∴∠OCB=∠B，
∴∠AOF=∠COF，
∵在△AOF和△COF中，
$\left\{\begin{array}{l}{OF=OF}\\{∠AOF=∠COF}\\{OA=CO}\end{array}\right.$，
∴△AOF≌△COF（SAS），
∴∠OAF=∠OCF=90°，
∴AF⊥OA，OA为圆O的半径，
则AF为圆O的切线；

（2）设PF=x，由（1）知OC⊥PC，OP⊥AF，
∴S_△POF=$\frac{1}{2}$•PF•OC=$\frac{1}{2}$•OP•AF，
且⊙O的半径为4，AF=2，
∴4x=2OP，
∴OP=2x，则AP=2x-4，
∴在Rt△APF中，
2²+（2x-4）²=x²，
解得：x=2（舍去）或$\frac{10}{3}$，
∴PF=$\frac{10}{3}$．

点评 此题主要考查了切线的性质以及勾股定理和全等三角形的判定与性质，正确应用勾股定理是解题关键．