Question

已知：平行四边形ABCD，以AB为直径的⊙O交对角线BD于P，交边BC于Q，连接AQ交BD于E，若BP=PD，
（1）判断平行四边形ABCD是何种特殊平行四边形，并说明理由；
（2）若AE=4，EQ=2，求：四边形AQCD的面积．

Answer 1

分析：（1）只要证明AP是BD的垂直平分线即可．
（2）已知AE=4，EQ=2，根据三角形的角平分线的性质定理，就可以求出菱形的边长，则问题就很容易解决．

解答：解：（1）菱形．
证明：连接AP
∵AB是⊙O的直径
∴∠APB=90°
即AP⊥BP
又∵BP=PD
∴AB=AD
∴平行四边形ABCD是菱形；

（2）∵BE是∠ABQ的角平分线
∴

AB

BQ

=

AE

EQ

=2
∵AB是⊙O的直径
∴∠AQB=90°
设BQ=x，则AB=2x
∵AQ=6
∴（2x）²=x²+36
∴x=2

3

∴BC=AD=4

3

∴CQ=2

3

∴四边形AQCD的面积是

1

2

（4

3

+2

3

）×6=18

3

．

点评：本题主要运用了直径所对的圆周角是直角，以及三角形的角平分线的性质定理．