Question

【题目】如图1所示，在△ABC中，AB的垂直平分线交BC于点M，交AB于点E，AC的垂直平分线交BC于点N，交AC于点F，连接AM、AN．

（1）求证：△AMN的周长＝BC；

（2）若AB＝AC，∠BAC＝120°，试判断△AMN的形状，并证明你的结论；

（3）若∠C＝45°，AC＝3，BC＝9，如图2所示，求MN的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）△AMN是等边三角形，见解析；（3）

【解析】

（1）根据线段垂直平分线的性质得到EA＝EB，NA＝CA，根据三角形的周长公式证明结论；

（2）根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理得到∠B＝∠C＝30°，根据三角形的外角性质、等边三角形的判定定理证明；

（3）证明ANM＝90°，根据勾股定理求出AN、NC，根据勾股定理列式计算得到答案．

（1）证明：∵EM是AB的垂直平分线，

∴EA＝EB，

同理，NA＝CA，

∴△AMN的周长＝MA+MN+NA＝MB+MN+NC＝BC；

（2）解：△AMN是等边三角形，

理由如下：∵AB＝AC，∠BAC＝120°，

∴∠B＝∠C＝30°，

∵EA＝EB，

∴∠MAB＝∠B＝30°，

∴∠AMN＝∠MAB+∠B＝60°，

同理可得，∠ANM＝60°，

∴△AMN是等边三角形；

（3）解：∵NC＝NA，

∴∠NAC＝∠C＝45°，

∴∠ANM＝∠ANC＝90°，

设NC＝NA＝x，

由勾股定理得，NA2+NC2＝AC2，即x2+x2＝（3）2，

解得，x＝3，即NC＝NA，

∴MB＝MA＝6﹣MN，

在Rt△AMN中，NA2+MN2＝AM2，即32+MN2＝（6﹣MN）2，

解得，MN＝．