Question

已知：如图，△ABC内接于⊙O，点D在OC的延长线上，sinB=

1

2

，∠CAD=30°．
（1）求证：AD是⊙O的切线；
（2）若OD⊥AB，BC=5，求AD的长．

Answer 1

分析：（1）连接OA，由于sinB=

1

2

，那么可求∠B=30°，利用圆周角定理可求∠AOC=60°，而OA=OB，那么△AOC是等边三角形，从而有∠OAC=60°，易求∠OAD=90°，即AD是⊙O的切线；
（2）由于OC⊥AB，OC是半径，利用垂径定理可知OC是AB的垂直平分线，那么CA=CB，而∠B=30°，则∠BAC=30°，于是有∠DAE=60°，∠D=30°，在Rt△ACE中，利用三角函数值可求AE，在Rt△ADE中利用30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半，可求AD．

解答：证明：连接OA，
（1）∵sinB=

1

2

，
∴∠B=30°，
∠AOC=60°，
又∵OA=OC，
∴△AOC是等边三角形，
∴∠OAC=60°，
∴∠OAD=60°+30°=90°，
∴AD是⊙O的切线；

（2）∵OC⊥AB，OC是半径，
∴BE=AE，
∴OD是AB的垂直平分线，
∴∠DAE=60°，∠D=30°，
在Rt△ACE中，AE=cos30°×AC=

5

2

3

，
∴在Rt△ADE中，AD=2AE=5

3

．

点评：本题利用了三角函数值、圆周角定理、等边对等角、等边三角形的判定和性质、切线的判定、垂直平分线的判定和性质、直角三角形中30°的角所对的直角边等于斜边的一半．