Question

2．小玲家在某24层楼的顶楼，对面新造了一幢28米高的图书馆，小玲在楼顶A处看图书馆楼顶B处和楼底C处的俯角分别是45°，60°．请问：
（1）两楼的间距是多少米？（精确到1m）
（2）小玲家的这幢住宅楼的平均层高是多少米？（精确到0.1m）
（参考了数据：$\sqrt{3}$≈1.73，$\sqrt{2}$≈1.41）

Answer 1

分析 （1）如图，延长CB交AM于点E，设AE=x．通过解Rt△ABE、Rt△ACE分别求得BE、CE的长度，然后结合图形中相关线段的和差关系列出关于x的方程，通过解方程求得x的值；
（2）利用（1）中的相关数据得到CE的长度，根据这幢住宅楼有24层进行解答即可．

解答 解：（1）如图，延长CB交AM于点E，设AE=x．
由题意知，在Rt△ABE中，∠EAB=45°，
∴BE=AE=x．
在Rt△ACE中，∠EAC=60°，
∴CE=$\sqrt{3}$x，
∵CE-BE=28，
∴$\sqrt{3}$x-x=28，
解得x=$\frac{28}{\sqrt{3}-1}$=14（$\sqrt{3}$+1）≈14×2.73=38.22≈38（米），
∴两楼间的距离约为8米；

（2）由（1）知，CE=28+38.22=66.22（米），
∴66.22÷24≈2.8（米），
∴小玲家这幢住宅楼的平均层高是为2.8米．

点评 本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题．要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．