Question

16．如图，△ABC中，AB=AC=4$\sqrt{5}$，cosC=$\frac{\sqrt{5}}{5}$
（1）动手操作：利用尺规作以AC为直径的⊙O，并标出⊙O与AB的交点D，与BC的交点E（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）综合应用：在你所作的图中，
①连接AE，CD，线段AE，CD交于点F，求证：EC²=EF•AE；    
②求点D到AC的距离．

Answer 1

分析 （1）先作出AC的中垂线，再画圆．
（2）AA证明△AEC∽△CEF，根据相似三角形的性质即可求解；
（3）利用余弦求出BE，EC，BD，CD，AD，利用三角形面积公式得到点D到AC的距离．

解答 解：（1）如图：


（2）①证明：如图：

∵AC为⊙O的直径，点E在⊙O上，
∴∠AEC=90°，
∵AB=AC，
∴∠BAE=∠CAE=∠DCE，
∴△AEC∽△CEF，
∴AE：CE=CE：FE，
∴EC²=EF•AE；
②解：∵在Rt△ACE中，cos∠ACE=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，AC=AB=4$\sqrt{5}$，
∴BE=EC=4，
∵∠ADC=∠AEC=90°，∠B=∠ACE，
∴BD=$\frac{8\sqrt{5}}{5}$，CD=$\frac{16\sqrt{5}}{5}$，
∴AD=4$\sqrt{5}$-$\frac{8\sqrt{5}}{5}$=$\frac{12\sqrt{5}}{5}$，
∴点D到AC的距离是$\frac{\frac{1}{2}×\frac{12\sqrt{5}}{5}×\frac{16\sqrt{5}}{5}}{\frac{1}{2}×4\sqrt{5}}$=$\frac{48\sqrt{5}}{25}$．

点评 本题主要考查了复杂的作图，相似三角形以及勾股定理的应用，（2）①题的关键是证明△BDE∽△BCA，（2）②题的关键是根据三角函数求出线段的长．