Question

【题目】如图，在中，，，以为直径的交于点，点是边上一点（点不与点，重合），的延长线交于点，，且交于点．

（1）求证：．

（2）连接，，求证：．

（3）若，，求的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）

【解析】

（1）连接BD，由三角形ABC为等腰直角三角形，求出∠A与∠C的度数，根据AB为圆的直径，利用圆周角定理得到∠ADB为直角，即BD垂直于AC，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得到AD＝DC＝BD＝AC，进而确定出∠A＝∠FBD，再利用同角的余角相等得到一对角相等，利用ASA得到三角形AED与三角形BFD全等，利用全等三角形对应边相等即可得证；

（2）连接EF，BG，由三角形AED与三角形BFD全等，得到ED＝FD，进而得到三角形DEF为等腰直角三角形，利用圆周角定理及等腰直角三角形性质得到一对同位角相等，利用同位角相等两直线平行即可得证；

（3）由全等三角形对应边相等得到AE＝BF＝2，在直角三角形BEF中，利用勾股定理求出EF的长，利用锐角三角形函数定义求出DE的长，利用两对角相等的三角形相似得到三角形AED与三角形GEB相似，由相似得比例，求出GE的长，由GE＋ED求出GD的长即可．

（1）证明：连接．

如图，在中，，，

∴．

∵是的直径，

∴，即，

∴，

∴．

∵，，

∴，

又∵，

∴，

在和中，

∴，

∴．

（2）证明：如图，由（1）知，

∴．

∵．

∴是等腰直角三角形，

∴，

∵．

∴，

∴．

（3）解：∵，，

∴．

在中，，

∴根据勾股定理得，

∵，，

∴．

∵为等腰直角三角形，，

∴，

∵，∴．

∵，，

∴，

∴，即，

∴，即，

则．