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观察下列一组等式： $数学公式$ =1- $数学公式$ ， $数学公式$ = $数学公式$ - $数学公式$ ， $数学公式$ = $数学公式$ - $数学公式$ ，…．
解答下列问题：
（1）对于任意的正整数n： $数学公式$ =．
【证】
（2）计算： $数学公式$ + $数学公式$ + $数学公式$ +…+ $数学公式$ =．
【解】
（3）已知m为正整数化简： $数学公式$ + $数学公式$ + $数学公式$ +…+ $数学公式$ =__．

解：（1） $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ．
证明： $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ；

（2） $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ +…+ $\text{[math]}$ =1- $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ +…+ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ =1- $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ；

（3） $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ +…+ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ×（1- $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ +…+ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ ×（1- $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ ．
故答案为：（1） $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ，（2） $\text{[math]}$ ，（3） $\text{[math]}$ ．
分析：（1）观察可得规律： $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ，然后利用分式的加减运算法则求解，即可求得答案；
（2）由（1）可将原式化为：1- $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ +…+ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ，继而求得答案；
（3）由（1）可将原式化为： $\text{[math]}$ ×（1- $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ +…+ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ），继而求得答案．
点评：此题考查了分式的加减运算法则．此题属于规律性题目，难度适中，注意掌握规律 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ 是解此题的关键．

练习册系列答案

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观察下列一组等式，

，

…根据等式的特点用在字母表示其规律为

．

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（2012•安庆二模）观察下列一组等式：

1×2

=1-

，

2×3

，

3×4

，…．
解答下列问题：
（1）对于任意的正整数n：

n(n+1)

n+1

．
【证】
（2）计算：

1×2

2×3

3×4

+…+

2011×2012

2011

2012

2011

2012

．
【解】
（3）已知m为正整数化简：

1×3

3×5

5×7

+…+

(2m-1)(2m+1)

2m+1

．

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观察下列一组等式，然后解答后面的问题：
(

+1)(

-1)=1，(

)(

)=1，(

)(

)=1，(

)(

)=1，…
（1）观察上面的规律，计算下列式子的值．
(

+…+

2012

2011

)•(

2012

+1)
（2）利用上面的规律，试比较

与

的大小．

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观察下列一组等式蕴含的规律：
1²+3×1+2=2×3，2²+3×2+2=3×4，3²+3×3+2=4×5，…，
请用含字母n的等式表示上述规律，并证明这个结论．

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观察下列一组等式：

(a+1)(a2-a+1)=a3+1

(a-2)(a2+2a+4)=a3-8

(a+3)(a2-3a+9)=a3+27

（1）以上这些等式中，你有何发现？利用你的发现填空．
①（x-3）（x²+3x+9）=

x³-27

；
②（2x+1）（

4x²-2x+1

）=8x³+1；
③（

x-y

）（x²+xy+y²）=x³-y³．
（2）计算：（a²-b²）（a²+ab+b²）（a²-ab+b²）．

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同步练习册答案

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观察下列一组等式：=1-，=-，=-，…．解答下列问题：（1）对于任意的正整数n：=______．【证】（2）计算：+++…+=______．【解】（3）已知m为正整数化简：+++…+=______．