Question

18．如图，抛物线y=ax²+bx+4的图象经过A（-3，0），B（5，4），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）线段AB在第一象限内的部分上有一动点P，过点P作y轴的平行线，交抛物线于点Q，是否存在点P使四边形BPCQ的面积最大？如果存在，请求出点P的坐标及面积的最大值；如果不存在，说明理由；
（3）x轴正半轴上有一点D（1，0），线段AC上是否存在点M，使△AOM∽△ADC？如果存在，直接写出点M的坐标；如果不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）把A点和B点坐标代入y=ax²+bx+4得到关于a和b的方程组，然后解方程组求出a和b即可得到抛物线解析式；
（2）如图，先利用待定系数法求出直线AB的解析式为y=$\frac{1}{2}$x+$\frac{3}{2}$，则求出C点坐标，从而可判断BC⊥PQ，设P（t，$\frac{1}{2}$t+$\frac{3}{2}$）（0＜t＜5），则Q（t，-$\frac{1}{6}$t²+$\frac{5}{6}$t+4），再用t表示出QP，然后根据三角形面积公式，利用S_{四边形BPCQ}=S_△CPQ+S_△BPQ得到S_{四边形BPCQ}=-$\frac{5}{12}$t²+$\frac{5}{4}$t+$\frac{25}{4}$，然后根据二次函数的性质求解；
（3）先利用待定系数法求出直线AC的解析式为y=$\frac{4}{3}$x+4，直线CD的解析式为y=-4x+4，则根据相似的性质得到∠AOM=∠ADC，于是可判断OM∥CD，易得直线OM的解析式为y=-4x，然后通过解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=-4x}\\{y=\frac{4}{3}x+4}\end{array}\right.$可得M点的坐标．

解答 解：（1）根据题意得$\left\{\begin{array}{l}{9a-3b+4=0}\\{25a+5b+4=4}\end{array}\right.$，解得a=-$\frac{1}{6}$，b=$\frac{5}{6}$，
所以抛物线的解析式为y=-$\frac{5}{6}$x²+$\frac{5}{6}$x+4；
（2）存在．
如图，设直线AB的解析式为y=mx+n，
把A（-3，0），B（5，4）代入得$\left\{\begin{array}{l}{-3m+n=0}\\{5m+n=4}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{m=\frac{1}{2}}\\{n=\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，
∴直线AB的解析式为y=$\frac{1}{2}$x+$\frac{3}{2}$，
当x=0时，y=-$\frac{5}{6}$x²+$\frac{5}{6}$x+4=4，则C（0，4），
而B（5，4），
∴BC⊥y轴，
∵QP∥y轴，
∴BC⊥PQ，
设P（t，$\frac{1}{2}$t+$\frac{3}{2}$）（0＜t＜5），则Q（t，-$\frac{1}{6}$t²+$\frac{5}{6}$t+4），
∴QP=-$\frac{1}{6}$t²+$\frac{5}{6}$t+4-$\frac{1}{2}$t-$\frac{3}{2}$t=-$\frac{1}{6}$t²+$\frac{1}{3}$t+$\frac{5}{2}$，
∴S_{四边形BPCQ}=S_△CPQ+S_△BPQ=$\frac{1}{2}$PQ•BC=$\frac{1}{2}$•5•（-$\frac{1}{6}$t²+$\frac{1}{3}$t+$\frac{5}{2}$）
=-$\frac{5}{12}$t²+$\frac{5}{4}$t+$\frac{25}{4}$
=-$\frac{5}{12}$（t-1）²+$\frac{20}{3}$，
当t=1时，S_{四边形BPCQ}有最大值，最大值为$\frac{20}{3}$，
此时P点坐标为（1，2）；
（3）存在．
直线AC的解析式为y=$\frac{4}{3}$x+4，直线CD的解析式为y=-4x+4，
∵△AOM∽△ADC，
∴∠AOM=∠ADC，
∴OM∥CD，
∴直线OM的解析式为y=-4x，
解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=-4x}\\{y=\frac{4}{3}x+4}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{3}{4}}\\{y=3}\end{array}\right.$，
∴M点的坐标为（-$\frac{3}{4}$，3）．

点评 本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和相似三角形的性质；会利用待定系数法求函数解析式，会通过解方程组求两函数图象的交点坐标；理解坐标与图形性质．