Question

15．如图，点B、C为直线AD上的点，点E、F分别在直线AD的两侧，且AE=DF，AE∥DF，AB=DC．
（1）判断四边形BECF的形状，并说明理由．
（2）若AD=12，DC=4．∠EBD=60°，EB=4时．
①四边形BFCE的周长为16，面积为8$\sqrt{3}$．
②连接AF、DE，判断四边形AEDF的形状，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）先证明四边形AEDF是平行四边形，根据对角线互相平分得出OE=OF，OA=OD，证出OB=OC，即可得出四边形BECF是平行四边形；
（2）①证明△BCE是等边三角形，得出OB=OC=2，证出EF⊥BC，得出四边形BECF是菱形，即可求出四边形BFCE的周长；由勾股定理求出OE，得出EF，即可求出四边形BFCE的面积；
②由（1）得：四边形AEDF是平行四边形，由EF⊥AD，即可得出结论．

解答 解：（1）四边形BECF是平行四边形；理由如下：
连接AE、DF，连接EF交AD于O，如图所示：
∵AE=DF，AE∥DF，
∴四边形AEDF是平行四边形，
∴OE=OF，OA=OD，
∵AB=DC，
∴OB=OC，
∴四边形BECF是平行四边形；
（2）∵AD=12，DC=4，
∴AB=4，
∴BC=4，
∵EB=4，
∴BC=EB，
∵∠EBD=60°，
∴△BCE是等边三角形，
∵OB=OC=2，
∴EF⊥BC，
∴四边形BECF是菱形，
∴BF=CF=EC=BE=4，
∴四边形BFCE的周长=4×4=16，
由勾股定理得：OE=$\sqrt{{4}^{2}-{2}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
∴EF=2OE=4$\sqrt{3}$，
∴四边形BFCE的面积=$\frac{1}{2}$BC•EF=$\frac{1}{2}$×4×4$\sqrt{3}$=8$\sqrt{3}$；
故答案为：16，8$\sqrt{3}$；
②四边形AEDF是菱形；理由如下：
由（1）得：四边形AEDF是平行四边形，
∵EF⊥AD，
∴四边形AEDF是菱形．

点评 本题考查了平行四边形的判定与性质、菱形的判定方法、勾股定理、等边三角形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明三角形是等边三角形是解决问题的关键．