Question

29、小刚为书房买灯，现有两种灯可供选购，其中一种是9瓦（即0.009千瓦）的节能灯，售价49元/盏；另一种是40瓦（即0.04千瓦）的白炽灯，售价为18元/盏．假设两种灯的照明亮度一样，使用寿命都可以达到2800小时，已知小刚家所在地的电价是每千瓦0.5元．
（1）设照明时间是x小时，请用含x的代数式分别表示用一盏节能灯的费用和用一盏白炽灯的费用；（注：费用=灯的售价+电费）
（2）小刚想在这两种灯中选购一盏，试用特殊值推断：
照明时间在什么范围内，选用白炽灯费用低；
照明时间在什么范围内，选用节能灯费用低；
（3）小刚想在这两种灯中选购两盏，假定照明时间是3000小时，使用寿命都是2800小时，请你帮他设计费用最低的选灯方案，并说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据“费用=灯的售价+电费”直接列出函数关系式即可；
（2）根据“使用两种灯的费用一样多”可列方程49+0.0045x=18+0.02x，解得x=2000；根据“白炽灯费用低”，“节能灯费用低”列不等式求解即可．
（3）分下列三种情况讨论：
①如果选用两盏节能灯，则费用是98+0.0045×3000=111.5元；
②如果选用两盏白炽灯，则费用是36+0.02×3000=96元；
③如果选用一盏节能灯和一盏白炽灯费用是67+0.0045×2800+0.02×200=83.6元．通过比较可得费用最低的方案．

解答：解：（1）用一盏节能灯的费用是（49+0.0045x）元，用一盏白炽灯的费用是（18+0.02x）元；

（2）①由题意，得49+0.0045x=18+0.02x，解得x=2000，所以当照明时间是2000小时时，两种灯的费用一样多．
②当节能灯费用＞白炽灯费用时，49+0.0045x＞18+0.02x，即x＜2000．
所以当照明时间＜2000小时时，选用白炽灯费用低．
当节能灯费用＜白炽灯费用时，49+0.0045x＜18+0.02x，即x＞2000．
所以当照明时间超过2000小时时，选用节能灯费用低；

（3）分下列三种情况讨论：
①如果选用两盏节能灯，则费用是98+0.0045×3000=111.5元；
②如果选用两盏白炽灯，则费用是36+0.02×3000=96元；
③如果选用一盏节能灯和一盏白炽灯，由（2）可知，当照明时间＞2000小时时，用节能灯比白炽灯费用低，所以节能灯用足2800小时时，费用最低．
费用是67+0.0045×2800+0.02×200=83.6元．
综上所述，应各选用一盏灯，且节能灯使用2800小时，白炽灯使用200小时时，费用最低．
另外，本题第二小题还可以用特殊值法知识求解或者用函数图象求解．

点评：（1）直接套用题目中所给出的公式即可列出关系式；
（2）①根据（1）中所列出的函数关系式，列出方程，即可求出x的值；
②再分别根据节能灯费用＞白炽灯费用与节能灯费用＜白炽灯费用两种情况列出不等式，求出不等式的解集即可；
（3）根据题意分别计算出：
①选用两盏节能灯；
②选用两盏白炽灯；
③一盏节能灯和一盏白炽灯，所需的费用，进行比较大小即可．
考查学生对方案的设计与选择，通过数学计算来研究现实生活中遇到的数学问题，体会数学分类思想在解题中的应用．