Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，取斜边AB的中点E，易得△BCE是等边三角形，从而得到“直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半”利用这个结论解决问题：

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=4，若动点P从点A出发，沿AB以每秒2个单位长度的速度向终点B运动．过点P作PD⊥AC于点D（点P不与点A.B重合），作∠DPQ=60°，边PQ交射线DC于点Q．设点P的运动时间为t秒．

（1）用含t的代数式表示线段DC的长；

（2）当线段PQ的垂直平分线经过△ABC一边中点时，直接写出t的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）t的值为或或

【解析】

（1）在Rt△ABC中，利用结论可得，可由勾股定理求出AC，在Rt△ADP中，由题意AP=2t，PD=t，用勾股定理可表示出AD，再用DC=AC-AD即可;

（2）分三种情况讨论，①当PQ的垂直平分线与PQ交于点G，且经过AB的中点F时，易证△PAD≌QPD，△PFG≌PAD，可得PF=AP=2t，而F为AB的中点，利用AP+PF=AB可求t；

②当PQ的垂直平分线经过AC的中点M时，可在Rt△MGQ中，求出MQ，然后利用AM+MQ=2AD可求出t；

③当PQ的垂直平分线经过BC的中点N，与AB的延长线交于H点时，

易证△PHG≌△PAD，则PH=AP=2t，然后利用等角对等边得到BH=BN=1，再由AH=AB+BN可求出t.

（1）在Rt△ABC中，利用结论可得,

∴

在Rt△ADP中，由题意AP=2t，PD=t，

∴，

∴

∵点P不与点A.B重合，∴

故.

（2）①当PQ的垂直平分线与PQ交于点G，且经过AB的中点F时，如图1，

在△APD和△QPD中，

∴

∴PA=PQ，∠PQD=∠A=30°，AD=QD=

∵GF是PQ的中垂线，∴，

在△APD和△FPG中，

∴

∴PA=PF=2t

∵F为AB中点，∴AF=PA+PF=AB，

即2t+2t=2，解得t=

②当PQ的垂直平分线经过AC的中点M时，如图2，

由①可知PG=QG=PQ=t，

在Rt△MGQ中，设MG=x，∵∠MQG=30°，∴MQ=2x

由勾股定理得

即，解得或（舍去）

∴，

∵M为AC的中点，∴AM=AC=，

AM+MQ=2AD，即+=，解得t=

③当PQ的垂直平分线经过BC的中点N，与AB的延长线交于H点时，如图3，

在Rt△PFG中，，

∵∠ABC=∠H+∠BNH=60°，∴∠BNH=∠H=30°，∴BH=BN==1

同①可证△PHG≌△PAD，∴PH=PA=2t，

由AB+BH=PA+PH=2PA得4+1=4t，解得t=

综上，当线段PQ的垂直平分线经过△ABC一边中点时，t的值为或或.