Question

6．如图，直线y=2x+2交y轴于A点，交x轴于C点，以O，A，C为顶点作矩形OABC，将矩形OABC绕O点顺时针旋转90°，得到矩形ODEF，直线AC交直线DF于G点．
（1）求直线DF的解析式；
（2）求证：GO平分∠CGD；
（3）在角平分线GO上找一点M，使以点G、M、D为顶点的三角形是等腰直角三角形，求出M点坐标．

Answer 1

分析 （1）根据直线的解析式找出点A、C的坐标，再由旋转的特性找出点D、F的坐标，结合点D、F的坐标利用待定系数法即可求出直线DF的解析式；
（2）过点O作OP⊥AC于点P，作OQ⊥DG于点Q，利用全等直角三角形的判定定理HL证出Rt△OAC≌Rt△ODF，结合面积法即可得出OP=OQ，从而证出GO平分∠CGD；
（3）根据旋转的性质可得出AC⊥DF，结合（2）的结论即可得出∠OGD=45°，联立直线AC、DF的解析式成方程组，解方程组可得出点G的坐标，根据等腰直角三角形的性质可分两种情况寻找点M的位置，再通过勾股定理解方程等即可得出结论．

解答 解：（1）∵直线y=2x+2交y轴于A点，交x轴于C点，
∴A点的坐标是（0，2），C点的坐标是（-1，0），
∵将矩形OABC绕O点顺时针旋转90°，得到矩形ODEF，
∴F点的坐标是（0，1），D点的坐标是（2，0），
设直线DF的解析式是y=kx+1，
∴2k+1=0，
解得k=-$\frac{1}{2}$，
∴直线DF的解析式是：y=-$\frac{1}{2}$x+1．
（2）过点O作OP⊥AC于点P，作OQ⊥DG于点Q，如图1所示．
在Rt△OAC和Rt△ODF中，$\left\{\begin{array}{l}{OA=OD}\\{AC=DF}\end{array}\right.$，
∴Rt△OAC≌Rt△ODF（HL），
又∵OP⊥AC，OQ⊥DG，
∴OP=OQ，
∴OG平分∠CGD．
（3）∵矩形OABC绕O点顺时针旋转90°，得到矩形ODEF，
∴对角线AC⊥DF，
∵GO平分∠CGD，
∴∠OGD=45°．
解$\left\{\begin{array}{l}{y=2x+2}\\{y=-\frac{1}{2}x+1}\end{array}\right.$得：$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{2}{5}}\\{y=\frac{6}{5}}\end{array}\right.$，
即点G（-$\frac{2}{5}$，$\frac{6}{5}$），
∴直线GO为y=-3x．
∵D（2，0），
∴GD=$\sqrt{[2-（-\frac{2}{5}）]^{2}+（0-\frac{6}{5}）^{2}}$=$\frac{6\sqrt{5}}{5}$，GO=$\sqrt{（-\frac{2}{5}-0）^{2}+（\frac{6}{5}-0）^{2}}$=$\frac{2\sqrt{10}}{5}$．
以点G、M、D为顶点的三角形是等腰直角三角形分两种情况：
①过D作DM₁⊥GO于点M₁，则△GM₁D是以GD为斜边的等腰直角三角形，过M₁作M₁H⊥OD于点H，如图2所示．
∵GD=$\frac{6\sqrt{5}}{5}$，
∴GM₁=DM₁=$\frac{6\sqrt{5}}{5}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{3\sqrt{10}}{5}$．
∵GO=$\frac{2\sqrt{10}}{5}$，
∴OM₁=GM₁-GO=$\frac{3\sqrt{10}}{5}$-$\frac{2\sqrt{10}}{5}$=$\frac{\sqrt{10}}{5}$．
设点M₁（x，-3x），在Rt△OM₁H中有$O{H}^{2}+H{{M}_{1}}^{2}=O{{M}_{1}}^{2}$，
即x²+（-3x）²=$（\frac{\sqrt{10}}{5}）^{2}$，解得：x=$\frac{1}{5}$或x=-$\frac{1}{5}$（舍去）．
∴点M₁（$\frac{1}{5}$，-$\frac{3}{5}$）；
②过D作DM₂⊥GD交GO于M₂，则△GM₂D是以GD为直角边的等腰直角三角形，过M₂作M₂I⊥OD于点I，如图3所示．
∵GD=$\frac{6\sqrt{5}}{5}$，
∴GM₂=$\frac{6\sqrt{5}}{5}$×$\sqrt{2}$=$\frac{6\sqrt{10}}{5}$，
∵GO=$\frac{2\sqrt{10}}{5}$，
∴OM₂=GM₂-GO=$\frac{6\sqrt{10}}{5}$-$\frac{2\sqrt{10}}{5}$=$\frac{4\sqrt{10}}{5}$．
设M₂（a，-3a），在Rt△OM₂I中有$O{I}^{2}+I{{M}_{2}}^{2}=O{{M}_{2}}^{2}$，
即a²+（-3a）²=$（\frac{4\sqrt{10}}{5}）^{2}$，解得：a=$\frac{4}{5}$或a=-$\frac{4}{5}$（舍去），
∴点M₂（$\frac{4}{5}$，-$\frac{12}{5}$）．
综上可得：使以点G、M、D为顶点的三角形是等腰直角三角形的M点的坐标为（$\frac{1}{5}$，-$\frac{3}{5}$）和（$\frac{4}{5}$，-$\frac{12}{5}$）．

点评 本题考查了旋转的性质、待定系数法求函数解析式、全等三角形的判定及性质、等腰直角三角形的性质以及勾股定理，解题的关键是：（1）利用待定系数法求函数解析式；（2）证出Rt△OPG≌Rt△OQG；（3）分情况讨论点M的情况．本题属于中档题，难度不大，但解题过程稍显繁琐，解决该题型题目时，根据旋转的性质找出点的坐标，再利用待定系数法求出函数解析式是关键．