已知:AB.CD为⊙O两条直径.点P为$\widehat{AD}$上一动点.过点P作AB.CD的垂线.垂足分别为点M.N．(1)如图1.连接BC．求证:∠P=2∠B,(2)如图2.延长PM.PN分别交⊙0于点E.F.连接EF.过点C作CG⊥AB.垂足为点G.延长CG交⊙0于点H．求证:EF=CH,的条件下.如图3.当点F与点B重合时.连接GP.若EF=BG.AG=5.求� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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5．已知：AB、CD为⊙O两条直径，点P为$\widehat{AD}$上一动点，过点P作AB、CD的垂线，垂足分别为点M、N．
（1）如图1，连接BC．求证：∠P=2∠B；
（2）如图2，延长PM、PN分别交⊙0于点E、F，连接EF，过点C作CG⊥AB，垂足为点G，延长CG交⊙0于点H．求证：EF=CH；
（3）在（2）的条件下，如图3，当点F与点B重合时，连接GP，若EF=BG，AG=5，求△GMP的面积．

分析（1）由已知条件得出∠PMO=∠PNO=90°，由四边形内角和得出∠P+∠MON=180°，由∠AOC+∠MON=180°，得出∠P=∠AOC，由圆周角定理得出∠AOC=2∠B，即可得出结论；
（2）连接OE、OF、OH，由垂径定理得出$\widehat{AC}$=$\widehat{AH}$，得出∠AOC=∠AOH，由∠AOC=∠P，∠EOF=2∠P，得出∠EOF=2∠AOC，得出∠EOF=∠COH，即可得出结论；
（3）先证明EF=2CG，BG=2CG，设CG=a，则BG=EF=2a，根据勾股定理得出方程：（$\frac{2a+5}{2}$）²=a²+（$\frac{2a-5}{2}$）²，解方程求出a，得出OC=$\frac{25}{2}$，CG=10，证出∠OCG=∠PBM，得出cos∠PBM=cos∠OCG=$\frac{4}{5}$，再证明BE=BP=20，得出cos∠PBM=$\frac{BM}{BP}$=$\frac{BM}{20}$，求出BM=16，根据勾股定理求出PM，得出MC，即可求出△GMP的面积=$\frac{1}{2}$×PM×MC．

解答（1）证明：∵PM⊥AB，PN⊥CD，
∴∠PMO=∠PNO=90°，
∵∠PMO+∠PNO+∠P+∠MON=360°，
∴∠P+∠MON=180°，
∵∠AOC+∠MON=180°，
∴∠P=∠AOC，
∵∠AOC=2∠B，
∴∠P=2∠B；
（2）证明：连接OE、OF、OH，如图所示：
∵直径AB⊥CH，
∴$\widehat{AC}$=$\widehat{AH}$，
∴∠AOC=∠AOH，
∴∠COH=2∠AOC，
∵∠AOC=∠P，∠EOF=2∠P，
∴∠EOF=2∠AOC，
∴∠EOF=∠COH，
∴EF=CH；
（3）解：∵直径AB⊥CH，
∴CG=GH，∠CGO=90°，
∵EF=CH，
∴EF=2CG，
∵EF=BC，
∴BG=2CG，
设CG=a，则BG=EF=2a，
∵AG=5，
∴AB=2a+5，
∴OA=OC=$\frac{2a+5}{2}$，
∴OG=$\frac{2a-5}{2}$，
∵OC²=CG²+OG²，
∴（$\frac{2a+5}{2}$）²=a²+（$\frac{2a-5}{2}$）²，
解得：a=10，或a=0（舍去），
∴OC=$\frac{25}{2}$，CG=10，
∵BP⊥CD，
∴∠CGO=∠BNO=90°，
∵∠COG=∠BON，
∴∠OCG=∠PBM，
∴cos∠PBM=cos∠OCG=$\frac{CG}{OC}$=$\frac{10}{\frac{25}{2}}$=$\frac{4}{5}$，
∵直径AB⊥EP，
∴$\widehat{BE}=\widehat{BP}$，
∴BE=BP=20，
∵cos∠PBM=$\frac{BM}{BP}$=$\frac{BM}{20}$=$\frac{4}{5}$，
∴BM=16，
∴PM=$\sqrt{P{B}^{2}-B{M}^{2}}$=$\sqrt{2{0}^{2}-1{6}^{2}}$=12，
∵BG=20，BM=16，
∴MC=4，
∴△GMP的面积=$\frac{1}{2}$×PM×MC=$\frac{1}{2}$×12×4=24．

点评本题是圆的综合题目；考查了圆周角定理、四边形内角和定理、垂径定理、三角函数、勾股定理、三角形面积的计算等知识；本题难度较大，综合性强，特别是（3）中，需要根据垂径定理和勾股定理得出方程，并运用三角函数才能得出结果．

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