Question

19．在平面直角坐标系中，已知点A（0，4），B（4，0），P为函数y=$\frac{8}{x}$（x＞0）图象上一点，过点P作PC⊥AP于P，PC=PA，D为BC的中点，连接PD．
（1）如图①，若PA⊥OA于点A．
①求点P的坐标；
②求PD的长；
（2）如图②，若PA不垂直于OA，连接OP，求$\frac{OP}{PD}$的值．

Answer 1

分析 （1）①由PA与y轴垂直，得到A与P纵坐标相同，把A纵坐标代入反比例解析式求出x的值，确定出P坐标即可；
②根据PC与AP垂直，由AP的长及P的坐标确定出C的坐标，再由D坐标，利用线段中点坐标公式求出D坐标，利用两点间的距离公式求出PD的长即可；
（2）不妨取P（4，2），求出OP的长，设C（x₀，y₀），由A与P坐标求出k_AP，利用两直线垂直时斜率的乘积为-1求出k_PC的值，利用斜率公式列出关系式，再由PA=PC列出关系式，联立求出x₀与y₀的值，确定出C坐标，根据B与C坐标求出中点D坐标，利用两点间的距离公式求出PD的长，即可求出所求式子的值．

解答 解：（1）①若PA⊥OA，则点P纵坐标为4，
∵点P在y=$\frac{8}{x}$上，
∴4=$\frac{8}{x}$，即x=2，
则P坐标为（2，4）；
②∵PA=PC，AP⊥PC，
∴C（2，2），
∵D为BC的中点，
∴D坐标为（3，1），
∴PD=$\sqrt{（3-2）^{2}+（1-4）^{2}}$=$\sqrt{10}$；
（2）不妨取P（4，2），可得OP=$\sqrt{20}$=2$\sqrt{5}$，
设C（x₀，y₀），则k_AP=-$\frac{1}{2}$，
∴k_PC=2，
∴$\frac{{y}_{0}-2}{{x}_{0}-4}$=2①，
由PA=PC，得到（x₀-4）²+（y₀-2）²=4²+2²②，
联立①②，解得：x₀=2或x=6（舍去），
y₀=-2，即C的坐标（2，-2）
∵D为BC的中点，
∴D（3，-1），
∴PD=$\sqrt{（3-4）^{2}+（-1-2）^{2}}$=$\sqrt{10}$，
则$\frac{OP}{PD}$=$\frac{2\sqrt{5}}{\sqrt{10}}$=$\sqrt{2}$．

点评 此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：坐标与图形性质，反比例函数的性质，等腰直角三角形的性质，两点间的距离公式，直线垂直时斜率满足的关系，以及线段中点坐标公式，熟练掌握公式及性质是解本题的关键．