Question

12．在等边△ABC的外侧作直线BD，作点A关于直线BD的对称点A′，连接AA′交直线BD于点E，连接A′C交直线BD于点F．
（1）依题意补全图1，已知∠ABD=30°，求∠BFC的度数；
（2）如图2，若60°＜∠ABD＜90°，判断直线BD和A′C相交所成的锐角的度数是否为定值？若是，求出这个锐角的度数；若不是，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据题意可以作出相应的图形，连接A′B，由题意可得到四边形AA′BC是菱形，根据菱形的对角线平分每一组对角，可以得到∠BFC的度数；
（2）画出相应的图形，根据对称的性质可以得到相等的线段和相等的角，由等边△ABC，可以得到BC=BA，然后根据三角形内角和是180°，可以推出直线BD和A′C相交所成的锐角的度数，本题得以解决．

解答 解：（1）补全的图1如下所示：

连接BA′，
∵由已知可得，BD垂直平分AA′，∠ABD=30°，△ABC是等边三角形，
∴△BA′A是等边三角形，AA′∥BC且AA′=BC，A′A=A′B，
∴四边形AA′BC是菱形，
∵∠ACB=60°，
∴∠BCE=30°；

（2）直线BD和A′C相交所成的锐角的度数是定值，若下图所示，

连接AF交BC于点G，
由已知可得，BA′=BA，BA=BC，FA′=FA，
则∠BA′A=∠BAA′，∠FA′A=∠FAA′，BA′=BC，
∴∠BA′C=∠BCA′，∠FA′B=∠FAB，
∴∠BCA′=∠FAB，
∵∠FGC=∠BGA，∠ABC=60°，
∴∠CFA=∠ABC=60°，
∵∠AFC+∠AFD+∠A′FD=180°，∠A′FD=∠AFD，
∴∠A′FD=60°，
即直线BD和A′C相交所成的锐角的度数是定值，这个锐角的度数是60°．

点评 本题考查了根据轴对称变换作图以及等腰三角形的性质、等边三角形的性质、三角形的内角和、菱形的性质，解答本题的关键是明确题意，画出相应的图形，根据所求问题可以探索出所求问题需要的条件．