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如图,已知梯形ABCD的下底边长AB=8cm,上底边长DC=1cm,O为AB的中点,梯形的高DO=4cm.动点P自A点出发,在AB上匀速运行,动点Q自点B出发,沿B→C→D→A匀速运行,速度均为每秒1个单位,当其中一个动点到达终点时,另一动点也同时停止运动.设点P运动t(秒)时,△OPQ的面积为S(不能构成△OPQ的动点除外).
(1)求S随t变化的函数关系式及t的取值范围;
(2)当t为何值时S的值最大?说明理由.

【答案】分析:(1)先分别求出当0<t<4时,当4<t≤5时,当5<t≤6时,当6<t≤8时,△OPQ的底边和高,再根据面积公式即可求出S随t变化的函数关系式;
(2)分别求出当0<t<4时,当4<t≤5时,当5<t≤6时,当6<t≤8时,S△OPQ的最大值,然后找出四个结果中最大的即可.
解答:解:(1)过点C作CE⊥AB,垂足为E,
∵CD=1,
∴OE=1,
∵O为AB的中点,AB=8,
∴OB=OA=4,
∴EB=4-1=3,
∵OD=4,
∴CE=4,
∴BC=5,
①如图(1),当0<t<4时,点Q在BC上,点P在点O左侧时,
过点Q作QF⊥AB,

则PO=4-t,BQ=t,
=
=
QF=t,
S△OPQ=PO•QF=(4-t)t=t-t2
②如图(2),当4<t≤5时,

OP=t-4,QF=t,
S△OPQ=PO•QF=(t-4)t=t2-t;
③如图(3),当5<t≤6时,

OP=t-4,QF=4,
S△OPQ=PO•QF=(t-4)×4=2t-8;
④如图(4),当6<t≤8时,

∵OA=OD=4
∴AD==4
∴AD+CD+CB=4+1+5=6+4
∴AQ=6+4-t,
=
=
∴QF==4-(t-6),
∴S△OPQ=PO•QF=(t-4)×[4-(t-6)]=t2+t-8-6

(2)当0<t<4时,t=2S△OPQ最大,S△OPQ的最大值为
当4<t≤5时,t=5S△OPQ最大,S△OPQ的最大值为2;
当5<t≤6时,t=6S△OPQ最大,S△OPQ的最大值为4;
当6<t≤8时,t=5+2S△OPQ最大,S△OPQ的最大值为2+
则t=5+2S△OPQ最大,S△OPQ的最大值为2+
点评:此题考查了相似形的综合,用到的知识点是相似三角形的判定与性质、二次函数的最值、勾股定理等,关键是根据题意画出符合要求的所有图形.
练习册系列答案
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9、如图,已知梯形ABCD中,AD∥BC,BE平分∠ABC,BE⊥CD,∠A=110°,AD=3,AB=5,则BC的长为(  )

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设△A1B1C1的面积是S1,△A2B2C2的面积为S2(S1<S2),当△A1B1C1∽△A2B2C2,且0.3≤
S1S2
≤0.4
时,则称△A1B1C1与△A2B2C2有一定的“全等度”.如图,已知梯形ABCD,AD∥BC,∠B=30°,∠BCD=60°,连接AC.
(1)若AD=DC,求证:△DAC与△ABC有一定的“全等度”;
(2)你认为:△DAC与△ABC有一定的“全等度”正确吗?若正确,说明理由;若不正确,请举出一个反例说明.精英家教网

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如图,已知在△ABC中,∠B=90°,AB=28cm,BC=28cm,点P从点A开始沿AB边向点B以3cm/s的速度移动,点Q从点B开始沿BC边向点C以1cm/s的速度移动,P,Q分别从A,B同时出发,当其中一精英家教网点到达终点时,另一点也随之停止.过Q作QD∥AB交AC于点D,连接PD,设运动时间为t秒时,四边形BQDP的面积为s.
(1)用t的代数式表示QD的长.
(2)求s关于t的函数解析式,并求出运动几秒梯形BQDP的面积最大?最大面积是多少?
(3)连接QP,在运动过程中,能否使△DPQ为等腰三角形?若存在,求出t的值,若不存在,说明理由.

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科目:初中数学 来源: 题型:

(2007•遂宁)如图,已知等腰△ABC的面积为4cm2,点D、E分别是AB、AC边的中点,则梯形DBCE的面积为
3
3
 cm2

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科目:初中数学 来源: 题型:阅读理解

阅读理解

(1)如图①,△ABC中,D是BC中点,连接AD,直接回答S△ABD与S△ADC相等吗?
相等
相等
(S表示面积);
应用拓展
(2)如图②,已知梯形ABCD中,AD∥BC,E是AB的中点,连接DE、EC,试利用上题得到的结论说明S△DEC=S△ADE+S△EBC
解决问题
(3)现有一块如图③所示的梯形试验田,想种两种农作物做对比实验,用一条过D点的直线,将这块试验田分割成面积相等的两块,画出这条直线,并简单说明另一点的位置.

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