【题目】如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=8,BC=6.CD⊥AB于点D.点P从点A出发,以每秒1个单位长度的速度沿线段AB向终点B运动.在运动过程中,以点P为顶点作长为2,宽为1的矩形PQMN,其中PQ=2,PN=1,点Q在点P的左侧,MN在PQ的下方,且PQ总保持与AC垂直.设P的运动时间为t(秒)(t>0),矩形PQMN与△ACD的重叠部分图形面积为S(平方单位).
(1)求线段CD的长;
(2)当矩形PQMN与线段CD有公共点时,求t的取值范围;
(3)当点P在线段AD上运动时,求S与t的函数关系式.
【答案】(1)CD=;(2)≤t≤;(3)当0<t<时,S=;当≤t≤时,S=2;当<t≤时,S=-t2+t-.
【解析】
(1)由勾股定理得出AB=,由△ABC的面积得出ACBC=ABCD,即可得出CD的长;
(2)分两种情形:①当点N在线段CD上时,如图1所示,利用相似三角形的性质求解即可.②当点Q在线段CD上时,如图2所示,利用相似三角形的性质求解即可.
(3)首先求出点Q落在AC上的运动时间t,再分三种情形:①当0<t<时,重叠部分是矩形PHYN,如图4所示,②当≤t≤时,重合部分是矩形PQMN,S=PQPN=2.③当<t≤时,如图5中重叠部分是五边形PQMJI,分别求解即可.
(1)∵∠ACB=90°,AC=8,BC=6,
∴AB=,
∵S△ABC=ACBC=ABCD,
∴ACBC=ABCD,即:8×610×CD,
∴CD=;
(2)在Rt△ADC中,AD=,BD=AB-AD=10-=,
当点N在线段CD上时,如图1所示:
∵矩形PQMN,PQ总保持与AC垂直,
∴PN∥AC,
∴∠NPD=∠CAD,
∵∠PDN=∠ADC,
∴△PDN∽△ADC,
∴,即:,
解得:PD=,
∴t=AD-PD=,
当点Q在线段CD上时,如图2所示:
∵PQ总保持与AC垂直,
∴PQ∥BC,△DPQ∽△DBC,
∴,即:,
解得:DP= ,
∴t=AD+DP=,
∴当矩形PQMN与线段CD有公共点时,t的取值范围为≤t≤;
(3)当Q在AC上时,如图3所示:
∵PQ总保持与AC垂直,
∴PQ∥BC,△APQ∽△ABC,
∴,即:,
解得:AP= ,
当0<t<时,重叠部分是矩形PHYN,如图4所示:
∵PQ∥BC,
∴△APH∽△ABC,
∴,即:,
∴PH=,
∴S=PHPN=;
当≤t≤时,重合部分是矩形PQMN,S=PQPN=2.
当<t≤时,如图5中重叠部分是五边形PQMJI,
S=S矩形PNMQ-S△JIN=2- (t-)[1-(-t)]=-t2+t-.
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】概念学习:规定:求若干个相同有理数(均不为0)的除法运算叫做除方,如,等,类比有理数的乘方,我们把记作,读作“2的圈3次方”,记作,读作“的圈4次方”,一般地,把记作读作“a的圈n次方”.
初步探究:
(1)直接写出计算结果________,________;
(2)关于除方,下列说法不正确的是________.
A.任何非零数的圈2次方都等于1
B.对于任何正整数n,
C.
D.负数的圈奇次方结果是负数,负数的圈偶次方结果是正数
深入思考:
我们知道有理数的减法运算可以转化为加法运算,除法运算可以转化为乘法运算,有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢?
(1)试一试:将下列运算结果直接写成幂的形式:______;______;______.
(2)想一想:将一个非零有理数a的圈n次方写成幂的形式为________.
(3)算一算:.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】阅读材料:
某些代数恒等式可用一些卡片拼成的图形的面积来解释.例如,图①可以解释,因此,我们可以利用这种方法对某些多项式进行因式分解.
根据阅读材料回答下列问题:
(1)如图②所表示的因式分解的恒等式是________________________.
(2)现有足够多的正方形和长方形卡片(如图③),试画出一个用若干张1号卡片、2号卡片和3号卡片拼成的长方形(每两张卡片之间既不重叠,也无空隙),使该长方形的面积为,并利用你画的长方形的面积对进行因式分解.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,甲、乙两座建筑物的水平距离为,从甲的顶部处测得乙的顶部处的俯角为48°,测得底部处的俯角为58°,求乙建筑物的高度.(参考数据:,,,.结果取整数)
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】随着粤港澳大湾区建设的加速推进,广东省正加速布局以5G等为代表的战略性新兴产业,据统计,目前广东5G基站的数量约1.5万座,计划到2020年底,全省5G基站数是目前的4倍,到2022年底,全省5G基站数量将达到17.34万座。
(1)计划到2020年底,全省5G基站的数量是多少万座?;
(2)按照计划,求2020年底到2022年底,全省5G基站数量的年平均增长率。
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,点是内任意一点,,点和点分别是射线和射线上的动点周长的最小值是,则的度数是( )
A. 25度 B. 30度 C. 35度 D. 40度
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,四边形ABCD为平行四边形,的平分线AE交CD于点F交BC的延长线于点E.
(1)求证:;
(2)连接BF、AC、DE,当时,求证:四边形ACED是平行四边形.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图1,在平画直角坐标系中,直线交轴于点,交轴于点,将直线沿轴向右平移2个单位长度交轴于,交轴于,交直线于.
(1)直接写出直线的解析式为______,______.
(2)在直线上存在点,使是的中线,求点的坐标;
(3)如图2,在轴正半轴上存在点,使,求点的坐标.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】为了美化环境,建设宜居成都,我市准备在一个广场上种植甲、乙两种花卉.经市场调查,甲种花卉的种植费用(元)与种植面积之间的函数关系如图所示,乙种花卉的种植费用为每平方米100元.
(1)直接写出当和时,与的函数关系式;
(2)广场上甲、乙两种花卉的种植面积共,若甲种花卉的种植面积不少于,且不超过乙种花卉种植面积的2倍,那么应该怎样分配甲、乙两种花卉的种植面积才能使种植费用最少?最少总费用为多少元?
查看答案和解析>>
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com