分析 (1)根据垂径定理求得PD⊥AB,然后根据30°角的直角三角形的性质求得OA=2OD,进而求得OF=$\frac{1}{2}$OP,根据三角形中位线的性质求得OD=$\frac{1}{2}$BC,从而求得OA=2,然后根据弧长公式即可求得劣弧PC的长;
(2)求得OF和PF,然后根据S阴影=S扇形-S△OPF即可求得.
解答 解:(1)∵点D是AB的中点,PD经过圆心,
∴PD⊥AB,
∵∠A=30°,
∴∠POC=∠AOD=60°,OA=2OD,
∵PF⊥AC,
∴∠OPF=30°,
∴OF=$\frac{1}{2}$OP,
∵OA=OC,AD=BD,
∴BC=2OD,
∴OA=BC=2,
∴⊙O的半径为2,
∴劣弧PC的长=$\frac{nπr}{180}$=$\frac{60π×2}{180}$=$\frac{2}{3}$π;
(2)∵OF=$\frac{1}{2}$OP,
∴OF=1,
∴PF=$\sqrt{O{P}^{2}-O{F}^{2}}$=$\sqrt{3}$,
∴S阴影=S扇形-S△OPF=$\frac{60π×{2}^{2}}{360}$-$\frac{1}{2}$×1×$\sqrt{3}$=$\frac{2}{3}$π-$\frac{\sqrt{3}}{2}$.
点评 本题考查了垂径定理的应用,30°角的直角三角形的性质,三角形的中位线的性质,弧长公式以及扇形的面积公式等,求得圆的半径和扇形的圆心角的度数是解题的关键.
科目:初中数学 来源: 题型:选择题
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