Question

6．如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AC是直径，∠A=30°，BC=2，点D是AB的中点，连接DO并延长交⊙O于点P，过点P作PF⊥AC于点F．
（1）求劣弧PC的长；（结果保留π）
（2）求阴影部分的面积．（结果保留π）．

Answer 1

分析 （1）根据垂径定理求得PD⊥AB，然后根据30°角的直角三角形的性质求得OA=2OD，进而求得OF=$\frac{1}{2}$OP，根据三角形中位线的性质求得OD=$\frac{1}{2}$BC，从而求得OA=2，然后根据弧长公式即可求得劣弧PC的长；
（2）求得OF和PF，然后根据S_阴影=S_扇形-S_△OPF即可求得．

解答 解：（1）∵点D是AB的中点，PD经过圆心，
∴PD⊥AB，
∵∠A=30°，
∴∠POC=∠AOD=60°，OA=2OD，
∵PF⊥AC，
∴∠OPF=30°，
∴OF=$\frac{1}{2}$OP，
∵OA=OC，AD=BD，
∴BC=2OD，
∴OA=BC=2，
∴⊙O的半径为2，
∴劣弧PC的长=$\frac{nπr}{180}$=$\frac{60π×2}{180}$=$\frac{2}{3}$π；
（2）∵OF=$\frac{1}{2}$OP，
∴OF=1，
∴PF=$\sqrt{O{P}^{2}-O{F}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
∴S_阴影=S_扇形-S_△OPF=$\frac{60π×{2}^{2}}{360}$-$\frac{1}{2}$×1×$\sqrt{3}$=$\frac{2}{3}$π-$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题考查了垂径定理的应用，30°角的直角三角形的性质，三角形的中位线的性质，弧长公式以及扇形的面积公式等，求得圆的半径和扇形的圆心角的度数是解题的关键．