如图，直线y=kx+k交x轴、y轴分别于A，C，直线BC过点C交x轴于B，OC=3OA，∠CBA=45°．分析 （1）令y=0，即可求得A的坐标，根据OC=3OA即可求得C的坐标，再根据∠CBA=45°，即△BOC的等腰直角三角形，则B的坐标即可求得，然后利用待定系数法求得BC的解析式；
（2）分成P在AB和在AB的延长线上两种情况进行讨论，利用三角形面积公式即可求解；
（3）设P的坐标是（2t-1，0），利用待定系数法求的PC的解析式，O作OD⊥PC于D，连接AD，当∠DAB=∠CPA，则D的横坐标与AB的中点的横坐标相等，且D到AB的距离等于$\frac{1}{2}$AB，则D的坐标即可利用t表示出来，然后代入PC的解析式求得t的值，即可得到P的坐标，进而求解．
解答 解：（1）在y=kx+k中，令y=0，则x=-1，即A的坐标是（-1，0）．
∵OC=3OA，
∴OC=3，即C的坐标是（0，3）．
∵∠CBA=45°，
∴∠OCB=∠CBA=45°，
∴OB=OC=3，则B的坐标是（3，0）．
设BC的解析式是y=kx+b，则$\left\{\begin{array}{l}{3k+b=0}\\{b=3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=3}\end{array}\right.$，
则BC的解析式是y=-x+3；
（2）当0＜t≤2时，P在线段AB上，则BP=4-2t，
则S=$\frac{1}{2}$（4-2t）×3=-3t+6；
当t＞2时，OP=2t-4，则S=$\frac{1}{2}$×3（2t-4），即S=3t-6；
（3）作DF⊥AB于点F．
∵P的坐标是（2t-1，0），A的坐标是（-1，0）．
∴D的横坐标是$\frac{2t-1-1}{2}$=t-1．
∵AD⊥CP，∠DAB=∠CPA，则AD=DP，
∴△ADB是等腰直角三角形，
又∵DF⊥AB于点F，
∴DF=$\frac{1}{2}$AP=t，即D的坐标是（t-1，t），
设PC的解析式是y=mx+n，则$\left\{\begin{array}{l}{n=3}\\{（2t-1）m+n=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=\frac{3}{1-2t}}\\{n=3}\end{array}\right.$，
则PC的解析式是y=$\frac{3}{1-2t}$x+3，
把D的坐标是（t-1，t），代入解析式得，$\frac{3}{1-2t}（t-1）+3$=t，
解得：t=2或0（舍去）．
则P的坐标是（3，0）．
则PC的解析式是y=-x+3．
则B与P重合，∵OC=OB，KC=KP，
∴K与O重合，即K的坐标是（0，0）．
点评 本题考查了待定系数法求函数的解析式，以及等腰直角三角形的判定与性质，正确求得D的坐标是本题的关键．
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如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8cm，AB=10cm，点D是AB的中点，则cos∠ACD=$\frac{4}{5}$．