Question

15．如图，一次函数y₁=k₁x+4与反比例函数y₂=$\frac{{k}_{2}}{x}$的图象交于点A（2，m）和B（-6，-2）与y轴交于点C．
（1）k₁=1，k₂=12；
（2）根据函数图象知，①当y₁＞y₂时，x的取值范围是-6＜x＜0或x＞2；②当x为x＜-6或x＞0时，函数y₂＞-2？
（3）过点A作AD⊥x轴于点D，点P是反比例函数在第一象限的图象上一点，设直线OP与线段AD交于点E，当S_{四边形ODAC}：S_△ODE=5：1时，求点P的坐标．
（4）点M是y轴上的一个动点，当△MBC为直角三角形时，求点M的坐标．

Answer 1

分析 （1）根据点B的坐标，利用待定系数法即可求出k₁、k₂的值；
（2）①观察两函数图象的上下位置关系，由此即可得出不等式的解集；②过点B作直线l∥x轴，找出双曲线在直线l上方部分，即可得出结论；
（3）根据一次函数图象上点的坐标特征求出点A、C的坐标，根据梯形的面积公式求出S_{四边形ODAC}的值，进而即可得出S_△ODE的值，结合三角形的面积公式即可得出点E的坐标，利用待定系数法即可求出直线OP的解析式，再联立直线OP与双曲线的解析式成方程组，通过解方程组求出点P的坐标；
（4）分∠CMB=90°或∠CBM=90°两种情况考虑，当∠CMB=90°时，根据点B的坐标即可找出点M的坐标；当∠CBM=90°时，由直线AB的解析式可得出△BCM为等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质结合点A、B的坐标即可得出点M的坐标．综上即可得出结论．

解答 解：（1）将点B（-6，-2）代入y₁=k₁x+4，
-2=-6k₁+4，解得：k₁=1；
将点B（-6，-2）代入y₂=$\frac{{k}_{2}}{x}$，
-2=$\frac{{k}_{2}}{-6}$，解得：k₂=12．
故答案为：1；12．

（2）①观察函数图象可知：当-6＜x＜0或x＞2时，一次函数图象在反比例函数图象上方，
∴当y₁＞y₂时，x的取值范围是-6＜x＜0或x＞2．
故答案为：-6＜x＜0或x＞2．
②过点B作直线l∥x轴，如图1所示．
观察图形可知：当x＜-6或x＞0时，反比例函数图象在直线l上方，
∴当x＜-6或x＞0时，函数y₂＞-2．
故答案为：x＜-6或x＞0．

（3）依照题意，画出图形，如图2所示．
当x=2时，m=x+4=6，
∴点A的坐标为（2，6）；
当x=0时，y₁=x+4=4，
∴点C的坐标为（0，4）．
∵S_{四边形ODAC}=$\frac{1}{2}$（OC+AD）•OD=$\frac{1}{2}$×（4+6）×2=10，S_{四边形ODAC}：S_△ODE=5：1，
∴S_△ODE=$\frac{1}{2}$OD•DE=$\frac{1}{2}$×2DE=2，
∴DE=2，即点E的坐标为（2，2）．
设直线OP的解析式为y=kx，
将点E（2，2）代入y=kx，
2=2k，解得：k=1，
∴直线OP的解析式为y=x．
联立直线OP与反比例函数解析式成方程组，
$\left\{\begin{array}{l}{y=x}\\{y=\frac{12}{x}}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=2\sqrt{3}}\\{{y}_{1}=2\sqrt{3}}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=-2\sqrt{3}}\\{{y}_{2}=-2\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
又∵点P在第一象限，
∴点P的坐标为（2$\sqrt{3}$，2$\sqrt{3}$）．

（4）依照题意画出图形，如图3所示．
当∠CMB=90°时，BM∥x轴，
∴点M的坐标为（0，-2）；
当∠CBM=90°时，∵直线AC的解析式为y=x+4，
∴∠BCM=45°，
∴△BCM为等腰直角三角形，
∴CM=-2x_B=12，
∴点M的坐标为（0，-8）．
综上所述：当△MBC为直角三角形时，点M的坐标为（0，-2）或（0，-8）．

点评 本题考查了待定系数法求出一次（反比例）函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征、梯形（三角形）的面积以及等腰直角三角形，解题的关键是：（1）根据点B的坐标，利用待定系数法求出k₁、k₂的值；（2）利用两函数图象的上下位置关系解不等式；（3）根据两图形面积间的关系找出点E的坐标；（4）分∠CMB=90°或∠CBM=90°两种情况寻找点M的坐标．