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【题目】如图,已知二次函数y=﹣x2+bx+cbc为常数)的图象经过点A53),点C08),顶点为点M,过点AAB∥x轴,交y轴于点D,交该二次函数图象于点B,连结BC

1)求该二次函数的解析式及点M的坐标;

2)求△ABC的面积;

3)若将该二次函数图象向下平移mm0)个单位,使平移后得到的二次函数图象的顶点落在△ABC的内部(不包括△ABC的边界),求m的取值范围.

【答案】1y=﹣x2+4x+8M212);(215;(36m9

【解析】试题分析:(1)把点AC的坐标代入函数解析式,用待定系数法求出抛物线解析式;

2)结合点ABC的坐标,三角形的面积公式进行解答;

3)点M是沿着对称轴直线x=2向下平移的,可先求出直线AC的解析式,将x=2代入求出点M在向下平移时与ACAB相交时y的值,即可得到m的取值范围.

解:(1)把点A53),点C08)代入二次函数y=﹣x2+bx+c,得

解得

二次函数解析式为y=﹣x2+4x+8,配方得y=﹣x﹣22+12

M的坐标为(212);

2)由(1)知,抛物线的对称轴是x=2

∵A53),AB∥x轴,

∴AB=6D03

∵C08),

∴CD=5

∴△ABC的面积=ABCD=×6×5=15

△ABC的面积=15

3)设直线AC解析式为y=kx+b,把点A53),C08)代入

解得

直线AC的解析式为y=﹣x+8,对称轴直线x=2△ABC两边分别交于点E、点F

x=2代入直线AC解析式y=﹣x+8

解得y=6,则点E坐标为(26),点F坐标为(23

∴312﹣m6,解得6m9

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