Question

（1）如图1，△ADE为等边三角形，AD∥EB，且EB=DC，求证：△ABC为等边三角形．
（2）相信你一定能从（1）中得到启示并在图2中作一个等边△ABC，使三角形的三个定点A、B、C分别在直线l₁、l₂、l₃上，（l₁∥l₂∥l₃且这三条平行线两两之间的距离不相等）．请你画出图形，并写出简要作法．
（3）①如图3，当所作△ABC的三个定点A、B、C分别在直线l₂、l₃、l₁上时，如图所示，请结合图形填空：
a：先作等边△ADE，延长DE交l₃于B点，在l₁上截取EC=

 

，连AC、BC，则△ABC即为所求．
b：证明△ABC为等边三角形时，可先证明

 

≌

 

从而为证明等边三角形创造条件．
②若使等边△ABC的三个定点A、B、C分别在直线l₃、l₁、l₂上时，请在图4中用类似的方法作出图形，并将构造的全等三角形用阴影标出．（只需画出图形，不要求写作法及证明过程）

Answer 1

考点：等边三角形的判定与性质,平行线之间的距离,全等三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）由△ADE为等边三角形，得出AE=AD，∠DAE=60°，由AD∥EB，得出∠DAE=∠ABE，且EB=DC，证得△ABE≌△ACD，得出∠DAC=∠EAB，AB=AC进一步推出结论；
（2）作法如下：
①l₁、l₂、l₃三条平行线间距离不等，不仿设l₂、l₃间距离大点．②在l1、l₃的正中间做一条直线d与它们平行．③作一条垂线分别交l₁、l₃于A、M，以AM为边作正三角形AMG，第三个顶点G就在d上．过G作CG垂直AG交直线l₂于C，连AC．在直线l₃上AM的左测截取BM等于CG，连AB、BC．则三角形ABC就是所要求作的正三角形；
（3）①结合（1）的证明直接填空即可；②利用①所给的画法做出图形．

解答：（1）证明：∵△ADE为等边三角形，
∴AE=AD，∠DAE=60°，
∵AD∥EB，
∴∠DAE=∠AEB，
又∵EB=DC，
∴△ABE≌△ACD，
∴∠DAC=∠EAB，AB=AC，
∵∠DAE=∠DAC-∠CAE=∠EAB-∠CAE=∠BAC=60°，
∴△ABC为等边三角形．

（2）解：作图如下：


（3）解：作图如下：

点评：此题考查了等边三角形的性质，三角形全等的判定与性质，尺规作图等知识点，并且渗透类比思想．