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    （2012•南通）如图△ABC中，AB=AC=10厘米，BC=12厘米，D是BC的中点，点P从B出发，以a厘米/秒（a＞0）的速度沿BA匀速向点A运动，点Q同时以1厘米/秒的速度从D出发，沿DB匀速向点B运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设它们运动的时间为t秒．
    （1）若a=2，△BPQ∽△BDA，求t的值；
    （2）设点M在AC上，四边形PQCM为平行四边形．
    ①若a=
    52
    ，求PQ的长；
    ②是否存在实数a，使得点P在∠ACB的平分线上？若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由．
    分析：（1）由△ABC中，AB=AC=10厘米，BC=12厘米，D是BC的中点，根据等腰三角形三线合一的性质，即可求得BD与CD的长，又由a=2，△BPQ∽△BDA，利用相似三角形的对应边成比例，即可求得t的值；
    （2）①首先过点P作PE⊥BC于E，由四边形PQCM为平行四边形，易证得PB=PQ，又由平行线分线段成比例定理，即可得方程
    5
    2
    t
    10
    =
    1
    2
    (6-t)
    6
    ，解此方程即可求得答案；
    ②首先假设存在点P在∠ACB的平分线上，由四边形PQCM为平行四边形，可得四边形PQCM是菱形，即可得PB=CQ，PM：BC=AP：AB，及可得方程组，解此方程组求得t值为负，故可得不存在．
    解答：解：（1）△ABC中，AB=AC=10cm，BC=12cm，D是BC的中点，
    ∴BD=CD=
    1
    2
    BC=6cm，
    ∵a=2，
    ∴BP=2tcm，DQ=tcm，
    ∴BQ=BD-QD=6-t（cm），
    ∵△BPQ∽△BDA，
    ∴
    BP
    BD
    =
    BQ
    AB
    ，
    即
    2t
    6
    =
    6-t
    10
    ，
    解得：t=
    18
    13
    ；

    （2）①过点P作PE⊥BC于E，
    ∵四边形PQCM为平行四边形，
    ∴PM∥CQ，PQ∥CM，PQ=CM，
    ∴PB：AB=CM：AC，
    ∵AB=AC，
    ∴PB=CM，
    ∴PB=PQ，
    ∴BE=
    1
    2
    BQ=
    1
    2
    （6-t）cm，
    ∵a=
    5
    2
    ，
    ∴PB=
    5
    2
    tcm，
    ∵AD⊥BC，
    ∴PE∥AD，
    ∴PB：AB=BE：BD，
    即
    5
    2
    t
    10
    =
    1
    2
    (6-t)
    6
    ，
    解得：t=
    3
    2
    ，
    ∴PQ=PB=
    5
    2
    t=
    15
    4
    （cm）；

    ②不存在．理由如下：
    ∵四边形PQCM为平行四边形，
    ∴PM∥CQ，PQ∥CM，PQ=CM，
    ∴PB：AB=CM：AC，
    ∵AB=AC，∴PB=CM，∴PB=PQ．
    若点P在∠ACB的平分线上，则∠PCQ=∠PCM，
    ∵PM∥CQ，
    ∴∠PCQ=∠CPM，
    ∴∠CPM=∠PCM，
    ∴PM=CM，
    ∴四边形PQCM是菱形，
    ∴PQ=CQ，PM∥CQ，
    ∴PB=CQ，PM：BC=AP：AB，
    ∵PB=atcm，CQ=CD+QD=6+t（cm），
    ∴PM=CQ=6+t（cm），AP=AB-PB=10-at（cm），
    at=6+t①
    6+t
    12
    =
    10-at
    10
    ②
    ，
    化简得②：6at+5t=30③，
    把①代入③得，t=-
    6
    11
    ，
    ∴不存在实数a，使得点P在∠ACB的平分线上．
    点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质、菱形的判定与性质以及等腰三角形的性质等知识．此题难度较大，注意数形结合思想与方程思想的应用．
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