Question

（2011•桃江县模拟）如图，BD是⊙O的直径，A、C是⊙O上的两点，AE⊥CD交CD的延长线于点E，AD平分∠BDE．
（1）求证：AE是⊙O的切线；
（2）若∠DBC=30°，DE=1，求BD的长．

Answer 1

分析：（1）连接OA，由OA=OD，利用等边对等角得到一对角相等，再由DA为角平分线得到一对角相等，等量代换可得出一对内错角相等，根据内错角相等两直线平行，得到OA与ED平行，根据两直线平行得到同旁内角互补，再由AE垂直于ED，得到∠AED为直角，可得出∠OAE为直角，即AE垂直于OA，即可得到AE为圆O的切线，得证；
（2）由BD为圆O的直径，根据直径所对的圆周角为直角，得到∠BAD及∠C都为直角，在直角三角形BDC中，由∠DBC的度数，求出∠BDC的度数，再由邻补角定义及DA为角平分线，求出∠ADE的度数，在直角三角形AED中，求出∠EAD为30°，由ED的长，利用30°角所对的直角边等于斜边的一半得出AD=2ED，求出AD的长，再由∠BDA的度数，求出∠BAD的度数为30°，由AD的长，利用30°角所对的直角边等于斜边的一半得出BD=2AD，即可求出BD的长．

解答：解：（1）连接OA，

∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
∵AD平分∠BDE，
∴∠ODA=∠ADE，
∴∠OAD=∠ADE，
∴OA∥DE，
∴∠OAE+∠AED=180°，
∵DE⊥AE，∴∠E=90°，
∴∠OAE=90°，即AE⊥OA，
∴AE是⊙O的切线；
（2）∵BD是⊙O的直径，
∴∠BCD=∠BAD=90°，
∵∠DBC=30°，
∴∠BDC=60°，
∴∠BDE=120°
∴∠ADB=∠ADE=60°，
∴∠DAE=30°，又∠AED=90°，
∴AD=2DE=2，
在△ABD中，∠BAD=90°，∠ADB=60°，
∴∠ABD=30°，
∴BD=2AD=4．

点评：此题考查了切线的判定，平行线的判定与性质，等腰三角形的性质，含30°直角三角形的性质，以及圆周角定理，其中判定切线的方法有两种：有点连接圆心与此点，证明直线与连线垂直；无点过圆心作直线的垂线，证明垂线段等于圆的半径．