Question

【题目】如图，在△ABC中，边AB、AC的垂直平分线分别交BC于D、E．

（1）若BC=10，求△ADE的周长；

（2） 设直线DM、EN交于点O

①试判断点O是否在BC的垂直平分线上，并说明理由；

②若∠BAC=100°，求∠BOC的度数

Answer 1

【答案】（1）10；（2）点O是否在BC的垂直平分线上，理由见解析；（3）160°

【解析】

（1）由在△ABC中，AB、AC的垂直平分线分别交BC于D、E，根据线段垂直平分线的性质可得AD=BD，AE=CE，继而可得△ADE的周长=BC；

（2）①连接OB，OA，OC，证明OB=OC即可；

②根据题意得∠BOC=2∠MON,由四边形内角和可得∠BOC的度数.

（1）∵在△ABC中，AB、AC的垂直平分线分别交BC于D、E，

∴AD=BD，AE=CE，

又∵BC=10，

∴△ADE周长为：AD+DE+AE=BD+DE+EC=BC=10；

（2）①如图，连接OB，OA，OC，

∵MO是AB的垂直平分线，NO是AC的垂直平分线，

∴BO=AO，CO=AO，

∴BO=CO，

∴O在BC的垂直平分线上；

②∵OM⊥AB，ON⊥AC，

∴∠AMO=∠ANO=90°，

∵∠BAC=100°，

∴∠MOM=360°-∠AMO-∠BAC-∠ANO=80°;

∵MO是AB的垂直平分线，NO是AC的垂直平分线，

∴∠BOM=∠AOM，∠CON=∠AON，

∴∠BOC=2∠MON=160°．