Question

已知：如图，在△ABC中，AB=AC，∠ABC=36°，将△ABC绕着点B逆时针旋转36°后得到△EBF，点A落在点E处，点C落在点F处，连接CF．请你画出图形，并按下面要求完成本题．
（1）求证四边形BCFE是等腰梯形；
（2）求证：AF=AB．

Answer 1

证明：所作图形如下：

（1）∵△BEF由△ABC绕着点B逆时针旋转36°得到，且∠ABC=36°．
∴点B、A、F在一条直线上，且BF=BC，AB=AC=BE=EF，
∠ABC=∠EBF=∠ACB=∠EFB=36°．
∴EF∥BC．
∵BF=BC，∠ABC=∠ACB=36°，
∴∠BFC=∠FCB=72°，∠BAC=108°．
∴∠FAC=72°．
∴AC=CF．
∴BE=CF．
∴四边形EBCF是等腰梯形．

（2）由（1）证明知△CFA∽△BCF，
，
即．
解之：．
．
分析：（1）由于旋转得到的图形中点B、A、F在一条直线上，∠ABC=∠EFB=36°，又EB=BA，CA=CF，则BE=CF，四边形BCFE是等腰梯形即可得证．
（2）由（1）证明知△CFA∽△BCF，则，变形得，则即可证得AF=AB．
点评：本题考查了相似三角形的判定与性质及等腰梯形的判定问题，要求学生能够熟练掌握合并应用．