Question

如图，点O是△ABC的垂心（垂心即三角形三条高所在直线的交点），连接AO交CB的延长线于点D，连接CO交AB的延长线于点E，连接DE．求证：△ODE∽△OCA．

Answer 1

分析：欲证△ODE∽△OCA，通过观察发现两个三角形已经具备一组角对应相等，即∠O=∠O，可证△AEO∽△CDO，证得夹此对应角的两边对应成比例即可．

解答：证明：∵O是垂心，
∴AO⊥CD，
∴∠CDO=90°，
同理∠AEO=90°，
∴∠AEO=∠CDO，（3分）
在△AEO和△CDO中

∠AEO=∠CDO ∠O=∠O

，
∴△AEO∽△CDO，（3分）
∴

OE

OD

=

OA

OC

，
∴

OE

OA

=

OD

OC

，（2分）
在△ODE和△OCA中

OE OA = OD OC ∠O=∠O

，
∴△ODE∽△OCA．（2分）

点评：本题考查相似三角形的判定．识别两三角形相似，除了要掌握定义外，还要注意正确找出两三角形的对应边成比例、对应角相等．