Question

12．如图，BC为⊙O的直径，AB为⊙O的弦，D为$\widehat{BC}$的中点，CE⊥AD于E，AD交BC于点F，tan∠B=$\frac{1}{2}$
（1）求证：DE=2AE；
（2）求sin∠BFD的值．

Answer 1

分析 （1）连接AC，DC，根据圆周角定理得到∠ADC=∠B，由D为$\widehat{BC}$的中点，得到$\widehat{BD}=\widehat{CD}$，求得∠BAC=90°，∠DAC=45°，根据tan∠ADC=tan∠B=$\frac{CE}{DE}$=$\frac{1}{2}$，于是得到DE=2AE；
（2）连接OD，AC，过F作FH⊥AB于H，由tan∠B=$\frac{HF}{BH}$=$\frac{1}{2}$，设FH=k，BH=2k，根据勾股定理得到BF=$\sqrt{5}$k，推出AH=HF=k，根据相似三角形的性质得到BC=$\frac{3\sqrt{5}}{2}$k，求出OF=BF-OB=$\frac{\sqrt{5}}{4}$k，根据勾股定理得到DF=$\sqrt{O{D}^{2}+O{F}^{2}}$=$\frac{5\sqrt{2}}{4}$k，根据三角函数的定义即可得到结论．

解答 （1）证明：连接AC，DC，
则∠ADC=∠B，
∵D为$\widehat{BC}$的中点，
∴$\widehat{BD}=\widehat{CD}$，
∵BC为⊙O的直径，
∴∠BAC=90°，∠DAC=45°，
∵CE⊥AD于E
∴∠AEC=90°，
∴AE=CE，
∴tan∠ADC=tan∠B=$\frac{CE}{DE}$=$\frac{1}{2}$，
∴DE=2AE；
（2）解：连接OD，AC，过F作FH⊥AB于H，
∴∠COD=∠BAC=90°，
∵tan∠B=$\frac{HF}{BH}$=$\frac{1}{2}$，
∴设FH=k，BH=2k，
∴BF=$\sqrt{5}$k，
∵D为$\widehat{BC}$的中点，
∴∠BAD=45°，
∴AH=HF=k，
∵HF∥AC，
∴△BFH∽△BCA，
∴$\frac{BH}{AB}=\frac{BF}{BC}$，即$\frac{2k}{3k}=\frac{\sqrt{5}k}{BC}$，
∴BC=$\frac{3\sqrt{5}}{2}$k，
∴OD=OB=$\frac{3\sqrt{5}}{4}$k，
∴OF=BF-OB=$\frac{\sqrt{5}}{4}$k，
∴DF=$\sqrt{O{D}^{2}+O{F}^{2}}$=$\frac{5\sqrt{2}}{4}$k，
∴sin∠BFD=$\frac{OD}{DF}$=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$．

点评 本题考查了圆周角定理，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键．