Question

已知抛物线y =ax²+bx+c的图象交x轴于点A（x₀，0）和点B（2，0），与y轴的正半轴交于点C，其对称轴是直线x=-1，tan∠BAC=2，点A关于y轴的对称点为点D。
（1）确定A、C、D三点的坐标；
（2）求过B、C、D三点的抛物线的解析式；
（3）若过点（0，3）且平行于x轴的直线与（2）小题中所求抛物线交于M、N两点，以MN为一边，抛物线上任一点P（x，y）为顶点作平行四边形，若平行四边形的面积为S，写出S关于P点纵坐标y的函数解析式；
（4）当<x<4时，（3）小题中平行四边形的面积是否有最大值，若有，请求出，若无，请说明理由。

Answer 1

解：（1）∵点A与点B关于直线x=-1对称，点B的坐标是（2，0）
∴点A的坐标是（-4，0）
由tan∠BAC=2，可得OC=8
∴C（0，8）
∵点A关于y轴的对称点为D，
∴点D的坐标（4，0）；
（2）设过三点的抛物线解析式为y=a（x-2）（x-4），
代人点C（0，8），解得a=1
∴抛物线解析式是y=x²-6x+8；
（3）∵抛物线y=x²-6x+8与过点（0，3）平行于x轴的直线相交于M点和N点，
∴M（1，3），N（5，3），|MN|=4，而抛物线的顶点为（3，-1），
当y>3时，S= 4（y-3）= 4y-12，
当-1≤y< 3时，S=4（3-y）=-4y+12；
（4）以MN为一边，P（x，y）为顶点，且当<x<4的平行四边形面积最大，只要点P到MN的距离h最大，
∴当x=3时，y=-1时，h=4，S=|MN|·h=4×4=16，
所以满足条件的平行四边形面积有最大值16。