如果外切的两圆⊙O1和⊙O2的半径分别为2和4,那么半径为6,与⊙O1和⊙O2都相切的圆有( )
A.4个
B.5个
C.6个
D.7个
【答案】分析:设与⊙O1和⊙O2都相切的圆的圆心为A,根据题意得△AO1O2的三边为6,8,10,由勾股定理的逆定理得△AO1O2为直角三角形,分别以O1、O2为圆心,以8,10为半径,画弧有四个交点,以这4个交点为圆心,6为半径作圆,有4种情况;还有一种情况:连接O1O2,并延长和反向延长,交圆于两点B,C,以BC为直径作圆即可.
解答:解:设与⊙O1和⊙O2都相切的圆的圆心为A,
∴AO1=8,AO2=10,O1O2=10,
∴△AO1O2为直角三角形,
以点O1为圆心,8为半径画弧,再以点O2为圆心,10为半径画弧,有两个交点,再以交点为圆心,6为半径作圆,有2种情况;
以点O1为圆心,10为半径画弧,再以点O2为圆心,8为半径画弧,有两个交点,再以交点为圆心,6为半径作圆,有2种情况;
连接O1O2,并延长和反向延长,交圆于两点B,C,以BC为直径作圆,有1种情况;
∴共有5种情况,
故选B.
点评:本题考查了相切两圆的性质,勾股定理的逆定理,分类讨论思想是解题的关键.