Question

如图，以点P（﹣1，0）为圆心的圆，交x轴于B、C两点（B在C的左侧），交y轴于A、D两点（A在D的下方），AD=2，将△ABC绕点P旋转180°，得到△MCB．

（1）求B、C两点的坐标；

（2）请在图中画出线段MB、MC，并判断四边形ACMB的形状（不必证明），求出点M的坐标；

（3）动直线l从与BM重合的位置开始绕点B顺时针旋转，到与BC重合时停止，设直线l与CM交点为E，点Q为BE的中点，过点E作EG⊥BC于G，连接MQ、QG．请问在旋转过程中∠MQG的大小是否变化？若不变，求出∠MQG的度数；若变化，请说明理由．

Answer 1

解：（1）连接PA，如图1所示．

∵PO⊥AD，

∴AO=DO．

∵AD=2，

∴OA=．

∵点P坐标为（﹣1，0），

∴OP=1．

∴PA==2．

∴BP=CP=2．

∴B（﹣3，0），C（1，0）．

 

（2）连接AP，延长AP交⊙P于点M，连接MB、MC．

如图2所示，线段MB、MC即为所求作．

四边形ACMB是矩形．

理由如下：

∵△MCB由△ABC绕点P旋转180°所得，

∴四边形ACMB是平行四边形．

∵BC是⊙P的直径，

∴∠CAB=90°．

∴平行四边形ACMB是矩形．

过点M作MH⊥BC，垂足为H，如图2所示．

在△MHP和△AOP中，

∵∠MHP=∠AOP，∠HPM=∠OPA，MP=AP，

∴△MHP≌△AOP．

∴MH=OA=，PH=PO=1．

∴OH=2．

∴点M的坐标为（﹣2，）．

 

（3）在旋转过程中∠MQG的大小不变．

∵四边形ACMB是矩形，

∴∠BMC=90°．

∵EG⊥BO，

∴∠BGE=90°．

∴∠BMC=∠BGE=90°．

∵点Q是BE的中点，

∴QM=QE=QB=QG．

∴点E、M、B、G在以点Q为圆心，QB为半径的圆上，如图3所示．

∴∠MQG=2∠MBG．

∵∠COA=90°，OC=1，OA=，

∴tan∠OCA==．

∴∠OCA=60°．

∴∠MBC=∠BCA=60°．

∴∠MQG=120°．

∴在旋转过程中∠MQG的大小不变，始终等于120°．