Question

设抛物线与x轴交于两个不同的点A(一1，0)、B(m，0)，与y轴交于点C.且∠ACB=90°．

(1)求m的值和抛物线的解析式；

(2)已知点D(1，n )在抛物线上，过点A的直线交抛物线于另一点E．若点P在x轴上，以点P、B、D为顶点的三角形与△AEB相似，求点P的坐标．

(3)在(2)的条件下，△BDP的外接圆半径等于________________．

Answer 1

解：(1)令x=0，得y=－2   ∴C(0，一2)．∵ACB=90°，CO⊥AB,．

∴ △AOC ∽△COB,．∴；∴OB=  ∴m=4．

将A(-1,0),B(4,0)代入，

∴抛物线的解析式为

（2）D(1,n),代入，得n=-3。

由得

∴E（6，7）.过E作EH⊥X轴于H,则H(6,0).

∴AH=EH=7. ∴∠EAH=45⁰

过D作DF⊥X轴于F,则F(1,0).

∴BF=DF=3, ∴∠DBF=45⁰ ,∠EAH=∠DBF=45⁰

∴∠DBH=135⁰,90⁰<∠EBA<135⁰.

则点P只能在点B的左侧，有以下两种情况：

①若△DBP₁∽△EAB,则

∴

∴ ∴

②若△DBP₂∽△BAE，则

∴

∴ ∴

综合①②，得点P坐标为或

（3）或