Question

如图，A、B、C是⊙O上的三点，以BC为一边，作∠CBD=∠ABC，过BC上一点P，作PE∥AB交BD于点E，PF⊥BD于F，若BE=3，BF=

3 2

2

+3，则∠AOC=

45°

．

Answer 1

分析：首先由∠CBD=∠ABC，PE∥AB，可证得△PBE是等腰三角形，又由BE=3，BF=

3 2

2

+3，即可求得PE与EF的长，再由PF⊥BD，由特殊角的三角函数值，即可求得∠PEF的度数，继而求得∠AOC的度数．

解答：解：∵PE∥AB，
∴∠BPE=∠ABC，
∵∠CBD=∠ABC，
∴∠CBD=∠BPE，
∴PE=BE=3，
∵BF=

3 2

2

+3，
∴EF=BF-BE=

3 2

2

，
∵PF⊥BD，
∴在Rt△PEF中，cos∠PEF=

EF

PE

=

2

2

，
∴∠PEF=45°，
∵∠PEF=∠PBE+∠BPE=2∠PBE=2∠ABC=45°，
∴∠AOC=2∠ABC=45°．
故答案为：45°．

点评：此题考查了圆周角定理、等腰三角形的判定与性质以及三角函数等知识．此题难度适中，解题的关键是掌握同弧或等弧所对的圆周角相等定理的应用，注意有平行线与角平分线，可以构造等腰三角形．