Question

19．如图，在矩形ABCD中，AD=$\sqrt{2}$AB，∠BAD的平分线交BC于点E，DH⊥AE于点H，连接BH并延长交CD于点F，连接DE交BF于点O，下列结论：
①△ABE≌△AHD；②HE=CE；③H是BF的中点；④AB=HF；
其中正确的有（　　）个．

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 ①根据角平分线的定义可得∠BAE=∠DAE=45°，然后利用求出△ABE是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得AE=$\sqrt{2}$AB，从而得到AE=AD，然后利用“角角边”证明△ABE和△AHD全等；从而判断出①正确；
②由①可得AB=BE=CD=HD，继而证得∠EDH=∠EDC，然后由角平分线的性质，证得②正确；
③求出∠EBH=∠OHD=22.5°，∠AEB=∠HDF=45°，然后利用“角边角”证明△BEH和△HDF全等，根据全等三角形对应边相等可得BH=HF，判断出③正确；
④判断出△ABH不是等边三角形，从而得到AB≠BH，即AB≠HF，得到④错误．

解答 解：∵在矩形ABCD中，AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠DAE=45°，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴AE=$\sqrt{2}$AB，
∵AD=$\sqrt{2}$AB，
∴AE=AD，
在△ABE和△AHD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAE=∠DAE}\\{∠ABE=∠AHD=90°}\\{AE=AD}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△AHD（AAS），故①正确；
∴BE=DH，
∴AB=BE=CD=HD，
∴∠ADE=∠AED=$\frac{1}{2}$（180°-45°）=67.5°，
∴∠CED=180°-45°-67.5°=67.5°，
∴∠AED=∠CED，
∵∠C=90°，DH⊥AE，
∴∠EDH=∠EDC，
∴HE=CE；故②正确；
∵AB=AH，
∵∠AHB=$\frac{1}{2}$（180°-45°）=67.5°，
∴∠OHE=∠AHB=67.5°，
∴∠DHO=90°-67.5°=22.5°，
∵∠EBH=90°-67.5°=22.5°，
∴∠EBH=∠OHD，
在△BEH和△HDF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EBH=∠OHD=22.5°}\\{BE=DH}\\{∠AEB=∠HDF=45°}\end{array}\right.$，
∴△BEH≌△HDF（ASA），
∴BH=HF，
即H是BF的中点；故③正确；
∵AB=AH，∠BAE=45°，
∴△ABH不是等边三角形，
∴AB≠BH，
∴即AB≠HF，故④错误；
综上所述，结论正确的是①②③共3个．
故选：C．

点评 此题属于四边形的综合题．考查了矩形的性质、等腰直角三角形的性质、等腰三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质．注意根据相等的度数求出相等的角，从而得到三角形全等的条件或判断出等腰三角形是解题的关键．