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如图,等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AB=5,BC=10,高AG=4,E为BC边上的一个动点(不与B、C重合).F是腰AB上的一点,且EF⊥AB、连接DE,DF.
(1)求证:△BEF∽△BAG;
(2)当点E在线段BC上运动时,设BE=x.△DEF的面积为y.①请你求出y和x之间的函数关系式,并写出自变量的取值范围;②求当x为何值时,y有最大(小)值.
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分析:(1)要证明△BEF∽△BAG,有“两对角相等,两三角形全等”得出结论;
(2)根据△BEF∽△BAG,得出BF=
3
5
x,EF=
4
5
x,作DM⊥AB于M,得△BEF∽△ADM,求得DM,分别表示出△ADF、△BEF、△DCE的面积,再用梯形ABCD的面积减去△ADF、△BEF、△DCE的面积之和,即是所求三角形的面积,利用二次函数的最值问题求出y的最大值.
解答:解:(1)∵AG⊥BC,EF⊥AB,
∴∠AGB=∠EFB=90°,∠B=∠B,
∴△BEF∽△BAG;

(2)∵△BEF∽△BAG,精英家教网
∴BF=
3
5
x,EF=
4
5
x,
作DM⊥AB于M,得△BEF∽△ADM,
DM
4
=
4
5

∴DM=
16
5

∴S△DAF=8-
24
25
x

∵S梯形ABCD=28,S△DEC=20-2x,
∴y=S梯形ABCD-S△BEF-S△DEC-S△DAF=-
6
25
x2+
74
25
x,
∵当点F于点A重合时BF最长,此时
3
5
x=5,解得x=
25
3

∴0<x≤
25
3

∴当x=
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6
,y有最大值.
点评:本题考查了相似三角形性质的运用以及二次函数的最值问题,难度较大.
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3

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(1)求∠ABC的度数; 
(2)求梯形ABCD的周长.

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如图,等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AB=CD,BD平分∠ABC,BD⊥DC,延长BC到E,使CE=AD.
(1)求证:BD=DE;
(2)当DC=2时,求梯形面积.

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