Question

11．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，△ABC的高CD与角平分线AE相交点F，过点C作CH⊥AE于G，交AB于H．
（1）求∠BCH的度数；
（2）求证：CE=BH．

Answer 1

分析 （1）根据等腰直角三角形得：∠CAB=∠B=45°，由角平分线得：∠CAE=22.5°，从而计算出∠AEC的度数，并在直角△CGE中根据两锐角互余求出∠BCH的度数；
（2）先证明△CFE是等腰三角形，得：CE=CF，再证明△ACF≌△CBH，得CF=BH，所以CE=BH．

解答 解：（1）∵∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠CAB=∠B=45°，
∵AE是△ABC的角平分线，
∴∠CAE=$\frac{1}{2}$∠CAB=22.5°，
∴∠AEC=90°-∠CAE=67.5°，
∵CH⊥AE于G，
∴∠CGE=90°，
∴∠BCH=90°-∠AEC=90°-67.5°=22.5°；
（2）证明：∵∠ACB=90°，AC=BC，CD是△ABC的高，
∴∠ACD=$\frac{1}{2}$∠ACB=45°，
∴∠CFE=∠CAE+∠ACD=22.5°+45°=67.5°，
∴∠CFE=∠AEC，
∴CF=CE，
在△ACF和△CBH中，
∵$\left\{\begin{array}{l}∠CAF=∠BCH=22.5°\\ AC=CB\\∠ACF=∠B=45°\end{array}\right.$，
∴△ACF≌△CBH（ASA），
∴CF=BH，
∴CE=BH．

点评 本题考查了全等三角形的性质和判定及等腰直角三角形的性质，同时做好本题还要熟练掌握等腰三角形的等边对等角和等角对等边；从而得出边和角的关系，使问题得以解决．