Question

【题目】以坐标原点为圆心，1为半径的圆分别交x，y轴的正半轴于点A，B．

（1）如图一，动点P从点A处出发，沿x轴向右匀速运动，与此同时，动点Q从点B处出发，沿圆周按顺时针方向匀速运动．若点Q的运动速度比点P的运动速度慢，经过1秒后点P运动到点（2，0），此时PQ恰好是⊙O的切线，连接OQ．求∠QOP的大小；
（2）若点Q按照（1）中的方向和速度继续运动，点P停留在点（2，0）处不动，求点Q再经过5秒后直线PQ被⊙O截得的弦长．

Answer 1

【答案】
（1）解：如图一，连接AQ．

由题意可知：OQ=OA=1．

∵OP=2，

∴A为OP的中点．

∵PQ与⊙O相切于点Q，

∴△OQP为直角三角形．

∴ ．

即△OAQ为等边三角形．

∴∠QOP=60°．

（2）解：由（1）可知点Q运动1秒时经过的弧长所对的圆心角为30°，若Q按照（1）中的方向和速度继续运动，那么再过5秒，则Q点落在⊙O与y轴负半轴的交点处（如图二）．设直线PQ与⊙O的另外一个交点为D，

过O作OC⊥QD于点C，则C为QD的中点．

∵∠QOP=90°，OQ=1，OP=2，

∴QP= ．

∵ ，

∴OC= = ．

∵OC⊥QD，OQ=1，OC= ，

∴QC= = ．

∴QD= ．

【解析】（1）根据切线性质定理，以及OQ与OP之间的关系，可得出∠QOP的度数；（2）根据垂径定理及勾股定理解决本题即可.
【考点精析】解答此题的关键在于理解勾股定理的概念的相关知识，掌握直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2，以及对切线的性质定理的理解，了解切线的性质：1、经过切点垂直于这条半径的直线是圆的切线2、经过切点垂直于切线的直线必经过圆心3、圆的切线垂直于经过切点的半径．