Question

如图，根据图中数据完成填空，再按要求答题：

sin²A₁+sin²B₁=

 

；sin²A₂+sin²B₂=

 

；sin²A₃+sin²B₃=

 

．
（1）观察上述等式，猜想：在Rt△ABC中，∠C=90°，都有sin²A+sin²B=

 

．
（2）如图④，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，利用三角函数的定义和勾股定理，证明你的猜想．
（3）已知：∠A+∠B=90°，且sinA=

5

13

，求sinB．

Answer 1

考点：勾股定理,互余两角三角函数的关系,解直角三角形

专题：几何综合题,规律型

分析：（1）由前面的结论，即可猜想出：在Rt△ABC中，∠C=90°，都有sin²A+sin²B=1；
（2）在Rt△ABC中，∠C=90°．利用锐角三角函数的定义得出sinA=

a

c

，sinB=

b

c

，则sin²A+sin²B=

a2+b2

c2

，再根据勾股定理得到a²+b²=c²，从而证明sin²A+sin²B=1；
（3）利用关系式sin²A+sin²B=1，结合已知条件sinA=

5

13

，进行求解．

解答：解：（1）由图可知：sin²A₁+sin²B₁=（

1

2

）²+（

3

2

）²=1；
sin²A₂+sin²B₂=（

1

2

）²+（

1

2

）²=1；
sin²A₃+sin²B₃=（

3

5

）²+（

4

5

）²=1．
观察上述等式，可猜想：sin²A+sin²B=1．

（2）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°．
∵sinA=

a

c

，sinB=

b

c

，
∴sin²A+sin²B=

a2+b2

c2

，
∵∠C=90°，
∴a²+b²=c²，
∴sin²A+sin²B=1．

（3）∵sinA=

5

13

，sin²A+sin²B=1，
∴sinB=

1-( 5 13

)2=

12

13

．

点评：本题考查了在直角三角形中互余两角三角函数的关系，勾股定理，锐角三角函数的定义，比较简单．