[题目]如图.抛物线与x轴相交于点A(-3.0).点B(1.0).与y轴交于点C(0.3).点D是第二象限内抛物线上一动点．F点坐标为(-4.0)．(1)求这条抛物线的解析式,并写出顶点坐标,(2)当D为抛物线的顶点时.求△ACD的面积,(3)连接OD交线段AC于点E．当△AOE与△ABC相似时.求点D的坐标,(4)在x轴上方作正方形AFMN.将正方形AFMN沿x轴下� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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【题目】如图，抛物线与x轴相交于点A（-3，0）、点B（1，0），与y轴交于点C（0，3），点D是第二象限内抛物线上一动点．F点坐标为（-4，0）．

（1）求这条抛物线的解析式；并写出顶点坐标；

（2）当D为抛物线的顶点时，求△ACD的面积；

（3）连接OD交线段AC于点E．当△AOE与△ABC相似时，求点D的坐标；

（4）在x轴上方作正方形AFMN，将正方形AFMN沿x轴下方向向右平移t个单位，其中0≤t≤4，设正方形AFMN与△ABC的重叠总分面积为S，直接写出S关于t的函数解析式．

【答案】（1），顶点坐标是（，4）；（2）3；（3）点D的坐标是（，）或（-，2）；（4）

【解析】

（1）利用待定系数法确定函数解析式，根据函数解析式求得该抛物线的顶点坐标；

（2）过点D作DM∥y轴，交AC于M，连AD，DC，将△ACD拆分成△ADM和△CDM，易求得直线AC的解析式为y=x＋3，即M的坐标为（-1，2）再根据已知坐标可求三角形面积；

（3）连接OD交线段AC于点E，连接BC，分∠AOD=∠ABC时和∠AOD=∠ACB时两种情况讨论，分别利用互相平行两直线解析式斜率相等和相似比求得直线OE解析式，再联立OE与抛物线解析式求交点D的坐标即可；

（4）分，，，四种情况讨论，作出相应图形进行面积计算求解即可．

解：（1）∵抛物线与x轴交点坐标为A（-3，0）、点B（1，0），

∴设抛物线解析式为y=a（x＋3）（x-1），

将点C（0，3）代入得：a=-1，

故抛物线解析式为：，

∵，

∴该抛物线的顶点坐标是（，4）；

（2）过点D作DM∥y轴，交AC于M，连AD，DC，

∵A（-3，0）、点B（1，0）

∴AC的解析式为y=x＋3，

∴M的坐标为（-1，2），则DM=2．

∴S△ACD=S△ADM＋S△CDM=×2×2＋×2×1=3；

（3）连接OD交线段AC于点E，连接BC，

∵∠BAC是公共角，

∴当△AOE与△ABC相似时，有2种情况：

①当∠AOD=∠ABC时，OD∥BF，

∵BC的解析式为y=-3x＋3，

则OE的解析式为y=-3x.

解方程组

得：x1=，x2=，

∵点D在第二象限，

∴取，

∴D1（，）．

②当∠AOD=∠ACB时，过E作EH⊥x轴于点H，

则，

即，

解得AE=2，

∵OA=OC，

∴∠CAO=45°，

∴AH=EH=2，OH=1，

∴E点坐标为（-1，2），

则直线OE的解析式为 y=-2x，

解方程组得x1=-，x2=（舍去），

∴D2（-，2），

综合可得，点D的坐标是（，）或（-，2）；

（4）①当时，如下图所示，重叠部分面积为图中阴影的面积，

∵∠CAB=45°，

∴ ，

②当时，如下图所示，重叠部分面积为图中阴影五边形的面积，

∴ ，

，

③当点N在BC上时，由BC的解析式为y=-3x＋3可求得点N坐标为（，1），正方形在△ABC的内部，

此时，

所以当时，正方形AFMN与△ABC的重叠部分即为正方形面积，

即 ,

④当时，如图所示，重叠部分面积为图中阴影五边形面积，

，，

∴ ，

综上．

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