Question

如图，AB、AC分别是⊙O的直径和弦，点D为劣弧AC上一点，弦DE⊥AB分别交⊙O于E，交AB于H，交AC于F．P是ED延长线上一点且PC=PF．
（1）求证：PC是⊙O的切线；
（2）点D在劣弧AC什么位置时，才能使AD²=DE•DF，为什么？
（3）在（2）的条件下，若OH=1，AH=2，求弦AC的长．

Answer 1

【答案】分析：（1）连接OC，证明∠OCP=90°即可．
（2）乘积的形式通常可以转化为比例的形式，通过证明三角形相似得出．
（3）可以先根据勾股定理求出DH，再通过证明△OGA≌△OHD，得出AC=2AG=2DH，求出弦AC的长．
解答：（1）证明：连接OC．
∵PC=PF，OA=OC，
∴∠PCA=∠PFC，∠OCA=∠OAC，
∵∠PFC=∠AFH，DE⊥AB，
∴∠AHF=90°，
∴∠PCO=∠PCA+∠ACO=∠AFH+∠FAH=90°，
∴PC是⊙O的切线．

（2）解：点D在劣弧AC中点位置时，才能使AD²=DE•DF，理由如下：
连接AE．
∵点D在劣弧AC中点位置，
∴∠DAF=∠DEA，
∵∠ADE=∠ADE，
∴△DAF∽△DEA，
∴AD：ED=FD：AD，
∴AD²=DE•DF．

（3）解：连接OD交AC于G．
∵OH=1，AH=2，
∴OA=3，即可得OD=3，
∴DH===2．
∵点D在劣弧AC中点位置，
∴AC⊥DO，
∴∠OGA=∠OHD=90°，
在△OGA和△OHD中，
，
∴△OGA≌△OHD（AAS），
∴AG=DH，
∴AC=4．
点评：本题考查了切线的判定．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．同时考查了相似三角形的性质及全等三角形的性质．