Question

【题目】如图，在正方形ABCD中，P是BC的中点，把△PAB沿着PA翻折得到△PAE，过C作CF⊥DE于F，若CF=2，则DF=_____．

Answer 1

【答案】6．

【解析】

作辅助线，构建全等三角形，证明△AMD≌△DFC，则DM=FC=2，由折叠和正形

的边长相等得：AE=AD，根据等腰三角形三线合一得：DM=EM=2，∠EAM=∠MAD，设∠

MAD=α，则∠EAM=α，∠BAP=∠PAE=45°﹣α，可得∠PAM=45°，则△PAH是等腰直角三

角形，证明△PGE∽△AMD，列比例式得：GE=1，AM=2PG，设PG=x，则AM=2x，根据

AH=PH，得2x﹣1=2+x，求得x的值，即可解决问题；

过A作AM⊥DF于M，

∵四边形ABCD是正方形，

∴AD=DC，∠ADC=90°，

∴∠ADF+∠FDC=90°，

∵∠ADF+∠MAD=90°，

∴∠FDC=∠MAD，

∵∠AMD=∠DFC=90°，

∴△AMD≌△DFC，

∴DM=FC=2，

由折叠得：AB=AE，BP=PE，

∵AB=AD，

∴AE=AD，

∴DM=EM=2，∠EAM=∠MAD，

∵P是BC的中点，

∴PC=BC=AD=PE，

设∠MAD=α，则∠EAM=α，∠BAP=∠PAE=45°﹣α，

∴∠APE=90°﹣（45°﹣α）=45°+α，

∵∠EAM=∠DAM，∠BAP=∠PAE，

∴∠PAE+∠EAM=∠BAD=45°，

过P作PH⊥AM于H，过E作EG⊥PH于G，

∴△PAH是等腰直角三角形，

∴∠APH=45°，

∴∠HPE=α=∠MAD，

∵∠PGE=∠AMD=90°，

∴△PGE∽△AMD，

∴

∴

∴GE=1，AM=2PG，

设PG=x，则AM=2x，

∴AH=2x﹣1，

∵AH=PH，

∴2x﹣1=2+x，

x=3，

∴PG=3，AM=6，

∵△DAM≌△CDF，

∴DF=AM=6．

故答案为：6.