Question

已知2^a•5^b=2^c•5^d=10，求证：（a-1）（d-1）=（b-1）（c-1）．

Answer 1

证明：∵2^a•5^b=10=2×5，
∴2^a-1•5^b-1=1，
∴（2^a-1•5^b-1）^d-1=1^d-1，①
同理可证：（2^c-1•5^d-1）^b-1=1^b-1，②
由①②两式得2^{（a-1）（d-1）}•5^{（b-1）（d-1）}=2^{（c-1）（b-1）}•5^{（d-1）（b-1）}，
即2^{（a-1）（d-1）}=2^{（c-1）（b-1）}，
∴（a-1）（d-1）=（b-1）（c-1）．
分析：由2^a•5^b=10，首先把10转化为2×5的形式，据同底数幂的除法，底数不变指数相减可以得到一个关于指数ab等于1的等式，根据等式乘方原则等式两边同时乘方d-1等式仍成立；同理可得到一个关于指数cd的等于1等式，根据等式乘方原则等式两边同时乘方b-1等式仍成立．两个等式联立相等，即可得到结论．
点评：本题考查了同底数幂的除法，同底数幂的乘法，幂的乘方等知识点，各知识点很容易混淆，一定要记准法则才能解题．