Question

如图，已知正方形ABCD的各边中点分别为E、F、G、H．点M为直线BC上一动点，以线段EM为边长作正方形EMNP．
（1）如图①，当M点在点B的左侧时，请你判断FM和HP有何数量关系？点P是否在直线FH上？
（2）如图②，当M点在BC边上时，请你判断FM和HP有何数量关系？点P是否在直线FH上？
（3）如图③，当M点在点C的右侧时，请你判断FM和HP有何数量关系？点P是否在直线FH上？请分别写出各小题的结论，并从三小题中任选一题证明你的结论．

Answer 1

解：（1）FM=HP，P在直线FH上．
理由如下：如图，连接EF、EH，
∵E、F、H分别是边AB、BC、AD的中点，
∴AE=EB=BF=AH，
∴△AEH≌△BEF，且都是等腰直角三角形，
∴EF=EH，∠AEH=∠BEF=45°，
∴∠FEH=180°-45°×2=90°，
又∵∠MEF+∠FEP=90°，∠FEH=∠PEH+∠FEP=90°，
∴∠MEF=∠PEH，
在△MEF和△PEH中，，
∴△MEF≌△PEH（SAS），
∴FM=HP，
∴点E到HP与点E到FM的距离相等，
∵点E到FM的距离等于BE，即正方形边长的一半，
∴点E到HP的距离等于正方形ABCD的边长的一半，
∴点P在直线FH上；


（2）（3）的证明与（1）完全相同．
分析：（1）连接EF、EH，根据正方形的性质可得△AEH和△BEF是全等的等腰直角三角形，然后求出∠FEH=90°，再根据同角的余角相等可得∠MEF=∠PEH，然后利用“边角边”证明△MEF和△PEH全等，根据全等三角形对应边相等即可得证，再根据全等三角形对应边上的高相等可得点E到PH的距离等于点E到MF的距离，也就是正方形ABCD边长的一半，所以点P在直线FH上；
（2）连接EF、EH，根据正方形的性质可得△AEH和△BEF是全等的等腰直角三角形，然后求出∠FEH=90°，再根据同角的余角相等可得∠MEF=∠PEH，然后利用“边角边”证明△MEF和△PEH全等，根据全等三角形对应边相等即可得证，再根据全等三角形对应边上的高相等可得点E到PH的距离等于点E到MF的距离，也就是正方形ABCD边长的一半，所以点P在直线FH上；
（3）连接EF、EH，根据正方形的性质可得△AEH和△BEF是全等的等腰直角三角形，然后求出∠FEH=90°，再根据同角的余角相等可得∠MEF=∠PEH，然后利用“边角边”证明△MEF和△PEH全等，根据全等三角形对应边相等即可得证，再根据全等三角形对应边上的高相等可得点E到PH的距离等于点E到MF的距离，也就是正方形ABCD边长的一半，所以点P在直线FH上．
点评：本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，作出辅助线构造出全等三角是解题的关键，在几何中，证明两边相等，通常利用两边所在的三角形全等进行证明，这是常用方法，希望同学们熟练掌握并灵活应用．