Question

已知:在△ABC中，BC=a，AC=b，以AB为边作等边三角形ABD. 探究下列问题:
（1）如图1，当点D与点C位于直线AB的两侧时，a=b=3，且∠ACB=60°，则CD=            ；
（2）如图2，当点D与点C位于直线AB的同侧时，a=b=6，且∠ACB=90°，则CD=            ；
（3）如图3，当∠ACB变化,且点D与点C位于直线AB的两侧时，求 CD的最大值及相应的∠ACB的度数.

图1              图2                   图3

Answer 1

解：（1）；…………………………………………1’
（2）； …………………………………………2’
（3）以点D为中心，将△DBC逆时针旋转60°，则点B落在点A，点C落在点E.联结AE,CE，

∴CD=ED，∠CDE=60°，AE=CB= a，
∴△CDE为等边三角形，
∴CE=CD.    …………………………………………4’
当点E、A、C不在一条直线上时，有CD=CE<AE+AC=a+b；
当点E、A、C在一条直线上时， CD有最大值，CD=CE=a+b；

此时∠CED=∠BCD=∠ECD=60°，∴∠ACB=120°，……………………7’
因此当∠ACB=120°时，CD有最大值是a+b.

解析