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    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    如图，在平面直角坐标系xoy中，把抛物线y=x2先向右平移1个单位，再向下平移4个单位，得到抛物线y=（x-h）2+k，所得抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，顶点为M；
    （1）写出h、k的值以及点A、B的坐标；
    （2）判断三角形BCM的形状，并计算其面积；
    （3）点P是抛物线上一动点，连接AP，以AP为一边作正方形APFG，随着点P的运动，正方形的大小、位置也随之改变．当顶点F或G恰好落在y轴上时，请写出对应的点P的坐标．
    分析：（1）利用抛物线的平移规律即可求得h和k的值；然后令y=0即可求得与x轴的交点坐标；
    （2）首先求得点C和点M的坐标，然后求得BC、CM及BM的长，最后利用勾股定理逆定理判定直角三角形即可；
    （3）分别根据当点G在y轴上时和点F在y轴上时两种情况利用△AOG≌△PHA和△AMP≌△FNP求得点P的坐标即可．
    解答：解：（1）∵抛物线y=x2先向右平移1个单位，再向下平移4个单位，得到抛物线y=（x-1）2-4，
    ∴h=1，k=-4；
    令y=0，即（x-1）2-4=0
    解得x=-1或x=3，
    ∴A（-1，0），B （3，0），

    （2）∵令x=0，得y=（0-1）2-4=-3，
    ∴点C的坐标为（0，-3），点M的坐标为（1，-4）
    ∴BC=3
    		2
    ，MC=
    		2
    ，BM=2
    		5

    ∴BC2+MC2=BM2
    ∴△BMC是直角三角形； 
    ∴S=
    1
    2
    BC•CM=
    1
    2
    ×3
    		2
    ×
    		2
    =3；
    （3）①如图（1），（2）当点G在y轴上时，
    由△AOG≌△PHA，
    得PH=OA，得yP=xA=-1，∴x2-2x-3=-1，
    得x=1±
    		2
    ，∴P1（1-
    		2
    ，-1），P2（1+
    		2
    ，-1）
    ②如图（3），当点F在y轴上时，由△AMP≌△FNP，
    得PM=PN，得yP=xP，
    则x2-2x-3=x，
    得x=
    3±
    		21
    2
    ，（x=
    3-
    		21
    2
    舍去），
    故P3（
    3+
    		21
    2
    ，
    3+
    		21
    2
    ）．
    点评：本题考查了二次函数的综合知识，特别是动点问题是本题中的难点，同时它也是中考的高频考点．
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    （1）求点B的坐标；
    （2）当∠CPD=∠OAB，且
    BD
    AB
    =
    5
    8
    ，求这时点P的坐标．

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    5
    29
    5
    29
    ．

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    5
    5
    ．

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    x
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    k
    x
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    （2）当直线CP把梯形OABC的面积分成相等的两部分时，求直线CP的解析式；
    （3）当△OCP是等腰三角形时，请写出点P的坐标（不要求过程，只需写出结果）．

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