Question

1．阅读下列材料，然后回答问题：
$\frac{1}{\sqrt{2}+1}$=$\frac{1×（\sqrt{2}-1）}{（\sqrt{2}+1）（\sqrt{2}-1）}$=$\sqrt{2}$-1
$\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$=$\frac{1×（\sqrt{3}-\sqrt{2}）}{（\sqrt{3}+\sqrt{2}）（\sqrt{3}-\sqrt{2}）}$=$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$
$\frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{3}}$=$\frac{1×（\sqrt{4}-\sqrt{3}）}{（\sqrt{4}+\sqrt{3}）（\sqrt{4}-\sqrt{3}）}$=$\sqrt{4}$-$\sqrt{3}$
…
（1）认真观察上述式子的推导过程，回答问题：
①填空：$\frac{1}{\sqrt{7}+\sqrt{6}}$=$\sqrt{7}$-$\sqrt{6}$．
②求$\frac{1}{3\sqrt{2}+\sqrt{17}}$的值．
（2）根据你的发现，求出$\frac{2}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$（n为正整数）的值．

Answer 1

分析 （1）①首先找出有理化因式进而化简求出答案；
②首先找出有理化因式进而化简求出答案；
（2）首先找出有理化因式进而化简求出答案．

解答 解：（1）①$\frac{1}{\sqrt{7}+\sqrt{6}}$=$\frac{\sqrt{7}-\sqrt{6}}{（\sqrt{7}+\sqrt{6}）（\sqrt{7}-\sqrt{6}）}$=$\sqrt{7}$-$\sqrt{6}$；
故答案为：$\sqrt{7}$-$\sqrt{6}$；

②$\frac{1}{3\sqrt{2}+\sqrt{17}}$=$\frac{3\sqrt{2}-\sqrt{17}}{（3\sqrt{2}+\sqrt{17}）（3\sqrt{2}-\sqrt{17}）}$=3$\sqrt{2}$-$\sqrt{17}$；

（2）$\frac{2}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$（n为正整数）=$\frac{2（\sqrt{n+1}-\sqrt{n}）}{（\sqrt{n+1}+\sqrt{n}）（\sqrt{n+1}-\sqrt{n}）}$=2$\sqrt{n+1}$-2$\sqrt{n}$．

点评 此题主要考查了分母有理化，正确得出有理化因式是解题关键．