【题目】如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与y轴的交点为A(0,3),与x轴的交点分别为B(2,0),C(6,0).直线AD∥x轴,在x轴上位于点B右侧有一动点E,过点E作平行于y轴的直线l与抛物线、直线AD的交点分别为P,Q.
(1)求抛物线的解析式;
(2)当点E在线段BC上时,求△APC面积的最大值;
(3)是否存在点P,使以A,P,Q为顶点的三角形与△AOB相似?若存在,求出此时点E的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)y=﹣2x+3;(2);(3)存在,(,0)或(,0)或(14,0)
【解析】
(1)按交点式设成抛物线解析式,再将点A坐标代入,即可得出结论;
(2)先利用待定系数法求出直线AC解析式,进而表示出PF,利用三角形的面积公式得出S=﹣(t﹣3)2+,即可得出结论;
(3)①再分2<t<8和t>时,表示出AQ=t,PQ=﹣t2+2t,再分两种情况,利用相似三角形的对应边成比例建立方程求解即可得出结论.
(1)∵抛物线B(2,0)、C(6,0),
∴设抛物线为:,
把点A(0,3)代入,
得,
∴a,
∴该抛物线解析式为:;
(2)设直线AC的解析式为:,
∴,
解得,
∴直线AC的解析式为:,
设△APC面积为S,
如图,设直线l与AC交点为F,
设P(t,t2﹣2t+3)(2≤t≤6),则F(t,﹣t+3),
∴PF=﹣t+3-(t2﹣2t+3)t2+t,
∴St2×6
=﹣2+,
∴当t=3时,S最大值,
即△APC面积的最大值为;
(3)存在点P,
理由:连接AB,则△AOB中,∠AOB=90°,
∵点A、B的坐标分别为(0,3)、(2,0),
∴AO=3,BO=2,
设点E的坐标为(t,0)(>2),
则Q(t,3),P(t,t2﹣2t+3),
当t2﹣2t+3=3时,此时,点P,Q重合,即t=0(舍)或t=8,不能构成△APQ,
∴t≠8,
①当2<t<8时,AQ=t,PQ=3-(t2﹣2t+3)=﹣t2+2t,
当△AOB∽△AQP时,
∴,
∴,
解得:t=0(舍)或t=,
∴点E的坐标为(,0),
若△AOB∽△PQA,
则,
∴,
解得:t=0(舍)或t=2(舍),
②当t>8时,AQ=t, PQ=t2﹣2t+3-3=t2-2t,
若△AOB∽△AQP,
则∴,
∴,
解得:t=0(舍)或t=,
∴点E的坐标为(,0),
若△AOB∽△PQA,
则,
即,
解得:t=0(舍)或t=14,
∴点E的坐标为(14,0),
综上所述,点E的坐标为(,0)或(,0)或(14,0).
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【题目】如果抛物线m的顶点在抛物线n上,同时抛物线n的顶点在抛物线m上,那么我们就称抛物线m与n为交融抛物线.
(1)已知抛物线a:,判断下列抛物线b:,c:与已知抛物线a是否为交融抛物线?并说明理由;
(2)在直线y=2上有一动点P(t,2),将抛物线a:绕点P(t,2)旋转180得到抛物线l,若抛物线a与l为交融抛物线,求抛物线l的解析式;
(3)M为抛物线a:的顶点,Q为抛物线a的交融抛物线的顶点,是否存在以MQ为斜边的等腰直角三角形MQS,使直角顶点S在y轴上?若存在,求出点S的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】如图,已知二次函数的图象与轴交于点,与y轴交于点.
(1)求二次函数的解析式;
(2)若点P为抛物线上的一点,点F为对称轴上的一点,且以点ABPF为顶点的四边形为平行四边形,求点P的坐标;
(3)点E是二次函数第四象限图象上一点,过点E作x轴的垂线,交直线BC于点D,求四边形面积的最大值及此时点E的坐标.
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【题目】《小猪佩奇》这部动画片,估计同学们都非常喜欢.周末,小猪佩奇一家4口人(小猪佩奇,小猪乔治,小猪妈妈,小猪爸爸)到一家餐厅就餐,包厢有一圆桌,旁边有四个座位(,,,).
(1)小猪佩奇随机坐到座位的概率是________;
(2)若现在由小猪佩奇,小猪乔治两人先后选座位,用树状图或列表的方法计算出小猪佩奇和小猪乔治坐对面的概率.
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【题目】如图,已知矩形AOBC的三个顶点的坐标分别为O(0,0),A(0,6),B(8,0),按以下步骤作图:
①以点O为圆心,适当长度为半径作弧,分别交OC,OB于点D,E;
②分别以点D,E为圆心,大于DE的长为半径作弧,两弧在∠BOC内交于点F;
③作射线OF,交边BC于点G,则点G的坐标为_____.
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【题目】如图,直l1∥l2,点A、B固定在直线l2上,点C是直线11上一动点,若点E、F分别为CA、CB中点,对于下列各值:①线段EF的长;②△CEF的周长;③△CEF的面积;④∠ECF的度数,其中不随点C的移动而改变的是( )
A.①②B.①③C.②④D.③④
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【题目】已知一张正方形ABCD纸片,边长AB=2,按步骤进行折叠,如图1,先将正方形纸片ABCD对折,得到折痕EF;再折出矩形BCFE的对角线BF.
(1)如图2,将CF边折到BF上,得到折痕FM,点C的对应点为C',求CM的长.
(2)如图3,将AB边折到BF上,得到折痕BN,点A的对应点为A',求AN的长.
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【题目】如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,以AC为直径作⊙O交AB于点D,E为BC的中点,连接DE并延长交AC的延长线于点F.
(1)求证:DE是⊙O的切线;
(2)若CF=2,DF=4,求⊙O直径的长.
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【题目】如图,在ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,以AC为斜边的等腰直角三角形AEC的边CE,与AD交于点F,连接OE,使得OE=OD.在AD上截取AH=CD,连接EH,ED.
(1)判断四边形ABCD的形状,并说明理由;
(2)若AB=1,BC=3,求EH的长.
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