Question

【题目】如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣1，0）、C（0，3）、B（2，3）

（1）求抛物线的解析式；

（2）线段AB上有一动点P，过点P作y轴的平行线，交抛物线于点Q，求线段PQ的最大值；

（3）抛物线的对称轴上是否存在点M，使△ABM为直角三角形？如果存在，求出点M的坐标；如果不存在，说明理由（4个坐标）．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）当x＝时，线段PQ的长度最大，最大值为；（3）抛物线的对称轴上存在点M（1，﹣2）或（1，4）或（1，）或（1，），使△ABM为直角三角形

【解析】

（1）把点A、B、C的坐标代入抛物线解析式，利用待定系数法求二次函数解析式即可；

（2）设直线AB的解析式为y＝kx+b（k≠0），然后利用待定系数法求出直线解析式，再表示出PQ，然后利用二次函数的最值求解即可；

（3）求出抛物线对称轴为直线x＝1，然后分①AB是直角边时，写出以点A为直角顶点的直线AM的解析式，然后求解即可，再写出以点B为直角顶点的直线BM的解析式，然后求解即可，②AB是斜边时，设点M的坐标为（1，m），然后利用勾股定理列方程求出m的值，再写出点M的坐标即可．

解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣1，0）、C（0，3）、B（2，3），

∴，解得，

所以，抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3；

（2）设直线AB的解析式为y＝kx+b（k≠0），

，

则，解得，

所以，直线AB的解析式为y＝x+1，

设点P的横坐标为x，

∵PQy轴，

∴点Q的横坐标为x，

∴PQ＝（﹣x2+2x+3）﹣（x+1），

＝﹣x2+x+2，

＝﹣（x﹣）2+，

∵点P在线段AB上，

∴﹣1≤x≤2，

∴当x＝时，线段PQ的长度最大，最大值为；

（3）由（1）可知，抛物线对称轴为直线x＝1，

①AB是直角边时，若点A为直角顶点，

设直线AM的解析式为y＝﹣x+c，

将点代入得，

，解得

∴直线AM的解析式为y＝﹣x﹣1，

当x＝1时，y＝﹣1﹣1＝﹣2，

此时，点M的坐标为（1，﹣2），

若点B为直角顶点，

设直线BM的解析式为y＝﹣x+m，

将点代入得，

，解得

∴直线BM的解析式为y＝﹣x+5，

当x＝1时，y＝﹣1+5＝4，

此时，点M的坐标为（1，4），

②AB是斜边时，设点M的坐标为（1，m），

则AM2＝（﹣1﹣1）2+m2＝4+m2，BM2＝（2﹣1）2+（m﹣3）2＝1+（m﹣3）2，

由勾股定理得，AM2+BM2＝AB2，

所以，4+m2+1+（m﹣3）2＝（﹣1﹣2）2+（0﹣3）2，

整理得，m2﹣3m﹣2＝0，

解得m＝，

所以，点M的坐标为（1，）或（1，），

综上所述，抛物线的对称轴上存在点M（1，﹣2）或（1，4）或（1，）或（1，），使△ABM为直角三角形．